in wiskunde

Ongelijkheden en Arthur Engel (wiskundemarathon #8)

Gegroet wiskundige bollebozen,

een van de beste boeken over problem-solving is Problem-Solving Strategies (Arthur Engel). In dit boek staan zeer veel wiskundige problemen en oefeningen van gemiddeld tot moeilijk. In deze post maak ik opgave 45a en 45b (p.182) uit het hoofdstuk Ongelijkheden.

a) x,y,z>0: \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq\frac{y}{x} +\frac{z}{y}+\frac{x}{z}

Bewijs: w.l.o.g. stel dat a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}. Daaruit volgt dat  abc=1.

Nu moeten we bewijzen dat:
a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}
\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ab
\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2\geq 2ab+2bc+2ab
\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\geq 0
\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0
 \square

b) x,y,z>0: \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq\frac{x}{y} +\frac{y}{z}+\frac{z}{x}

Bewijs: w.l.o.g. stel dat a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}. Daaruit volgt dat  abc=1.

Nu moeten we bewijzen dat:
a^2+b^2+c^2 \geq a+b+c

We passen eerst QM-AM en daarna AM-HM toe op  \{a,b,c\}. Ook gebruiken we het feit dat  abc=1.

a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{(a+b+c)(a+b+c)}{3} \geq \frac{3\sqrt[3]{abc}(a+b+c)}{3}=a+b+c
 \square

WiskundeJongen

Appendix wiskundemarathon #5

Gegroet wiskundige wezens,

in deze post tonen we jullie een nieuwe manier om de vraag van wiskundemarathon #5 op te lossen:
wiskundemarathon deel 5 afbeelding

Eerst introduceren we een nieuwe functie:  \nu_p(n) is gelijk aan het aantal priemfactoren  p in de priemontbinding van  |n| met  n\in\mathbb{Z} .

Er geldt dat \nu_p(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor{\frac{n}{p^k}}\right\rfloor. We gaan deze formule in de volgende post bewijzen. Neem deze nu voorlopig gewoon aan of probeer hem zelf als oefening eens te bewijzen.

Nu zoeken we \nu _{2} \left(\frac{(2n)!}{n!}\right). Dit is gelijk aan \nu _{2} \left((2n)!\right) - \nu _{2} \left(n!\right).
Nu werken we uit:
\nu _{2} \left((2n)!\right) - \nu _{2} \left(n!\right)
 
=\sum_{k=1}^{\infty} \left \lfloor{\frac{2n}{2^k}}\right \rfloor - \sum_{k=1}^{\infty} \left \lfloor{\frac{n}{2^k}}\right \rfloor
 
=\sum_{k=1}^{\infty} \left ( \left \lfloor{\frac{n}{2^{k-1}}}\right \rfloor - \left\lfloor{\frac{n}{2^k}}\right\rfloor\right )
 
=n+\sum_{k=1}^{\infty} \left (\left\lfloor{\frac{n}{2^{k}}}\right \rfloor -\left\lfloor{\frac{n}{2^k}}\right\rfloor\right )=n
 \square
Analoog kunnen we bewijzen dat \nu _{p} \left(\frac{(pn)!}{n!}\right)=n

WiskundeJongen

Brahmagupta-Fibonacci-identiteit en Cauchy-Schwarz-ongelijkheid (wiskundemarathon #7)

Hey wiskundigen,

het is weer tijd voor een nieuwe post van de wiskundemarathon. Deze keer lossen we slechts 1 opgave op. We gebruiken de Brahmagupta-Fibonacci-identiteit (?) en de gekende Cauchy-Schwarz-ongelijkheid (zie vorige post). Maar voor we beginnen zal ik eerst de Brahmagupta-Fibonacci-identiteit uitleggen.

De Brahmagupta-Fibonacci-identiteit

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(bc+ad)^2+(ac-bd)^2

De afleiding van deze identiteit laten we aan de lezer over.

Nu we de Brahmagupta-Fibonacci-identiteit (oftewel de BF-identiteit) kennen, kunnen we de opgave oplossen. De opgave (in het Engels) gaat als volgt:Schermafbeelding (11)

We zoeken dus een zekere n zodat \frac{20bc+14bd+20ad-14ac}{a^2+b^2+c^2+d^2}\leq \sqrt{n}

Merk op dat: \frac{20bc+14bd+20ad-14ac}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\frac{10bc+7bd+10ad-7ac}{a^2+b^2}=\frac{10(bc+ad)+7(bd-ac)}{a^2+b^2}

Als we nu stellen dat p=bc+adq=bd-ac en  r=a^2+b^2 dan vinden we door de BF-identiteit: r^2=p^2+q^2.

Vullen we dit in in onze vorige vergelijking, dan vinden we:
\frac{10(bc+ad)+7(bd-ac)}{a^2+b^2}=\frac{10p+7q}{r}

Gebruiken we nu de Cauchy-Schwarz-ongelijkheid:
(10p+7q)^2\leq (p^2+q^2)(100+49)
We vonden al dat r^2=p^2+q^2 en als we dat in onze ongelijkheid invullen, bekomen we dat:
\frac{(10p+7q)^2}{r^2}\leq 149

\Leftrightarrow \frac{10p+7q}{r}\leq \sqrt{149}

We vinden dus dat n=149.

WiskundeJongen

Meer wiskundemarathonposts volgen!

Ongelijkheden (wiskundemarathon #6)

Hey wiskundige volbloeden,

een heel leuke tak van de wiskunde die nog niet aan bod is gekomen in de wiskundemarathon, zijn ongelijkheden. Er bestaan heel leuke technieken om moelijke ongelijkheden te bewijzen, maar nu bewijzen we een paar makkelijke oefeningen op om vertrouwd te geraken met de verschillende technieken. In volgende posts gaan we dan dieper in op de materie. We zullen de verschillende stellingen hier niet bewijzen, want dat zou ons te ver drijven.

Techniek 1: AM-GM (Arithmetic Mean-Geometric Mean)

 \forall x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{R}; x_1, x_2, ..., x_n \geq 0 :\frac{ x_1+ x_2+ ...+ x_n}{n} \geq \sqrt{ x_1 x_2 ...x_n}
Nu maken we een oefening op deze techniek. Ik vond deze opgave bij het oefenmateriaal van de Nederlandse IMO-training.
Schermafbeelding (8)
We vinden via AM-GM dat:  \frac{1+2+...+n}{n} \geq \sqrt[n]{n!}
We hebben al bewezen dat  \sum_{i=0}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2} (zie wiskundemarathon #4). Nu bekomen we:
 \frac{1+2+...+n}{n} \geq \sqrt[n]{n!}
\Leftrightarrow \frac{n+1}{2} \geq \sqrt[n]{n!}
\Leftrightarrow n+1 \geq 2\sqrt[n]{n!}
\Leftrightarrow (n+1)^n \geq 2^n n!
 \square

Dit is een techniek die veel toepassingen kent. In volgende posts zullen we enkele ingewikkeldere oefeningen maken. De volgende techniek is echter mijn favoriet.

Techniek 2: Cauchy-Schwarz

 \forall x_1,x_2,...,x_i,y_1,y_2,...,y_i \in \mathbb{R}:\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \leq \left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n y_i^2 \right)

Dit is een krachtige stelling en daardoor ook zeer populair bij problem-solving. We maken nu een oefening om aan te tonen hoe mooi en elegant deze techniek is. Deze oefening vond ik ook bij de Nederlandse training voor de IMO.Schermafbeelding (9)

Passen we Cauchy-Schwarz toe op  (x_1 , x_2 , x_3)= \left( \sqrt{1-\frac{1}{x}},\sqrt{1-\frac{1}{y}},\sqrt{1-\frac{1}{z}}\right) en  (y_1 , y_2 , y_3)= \left( \sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right) , dan vinden we:

\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\right)^2\leq\left(3-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\right)\left(x+y+z\right) \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\right)^2\leq x+y+z

\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\leq \sqrt{x+y+z}
\square

Als extraatje lossen we nog een finalevraag van de JWO op. De vraag komt uit de JWO-finale van een paar jaar geleden en we zullen die op 3 verschillende manieren oplossen.

1) Bewijs dat  a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc

Oplossing 1: We herschrijven de ongelijkheid tot:
a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geq 0
Nu vermenigvuldigen we beide leden met 2 en herschikken de ongelijkheid:
 2a^2+2b^2+2c^2 -2ab-2ac-2bc\geq 0
\Leftrightarrow(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\geq 0
\square

Oplossing 2: Nu gebruiken we Cauchy-Schwarz met  (x_1 , x_2 , x_3)= \left(a,b,c\right) en  (y_1 , y_2 , y_3)= \left( b,c,a\right) :
(ab+bc+ac)^2\leq\left(a^2+b^2+c^2\right)^2
\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2
\square

Oplossing 3: We lossen deze vraag ook op met een methode die we in de volgende ongelijkhedenpost zullen uitleggen en illustreren: de herschikkingsongelijkheid.

We stellen zonder verlies van algemeenheid dat a\geq b\geq c. Dan bekomen we:
a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc \geq 2ac+b^2
\square

We zien dat hoe complexer (deze zijn nog zeer eenvoudig) de techniek wordt, hoe krachtiger hij wordt. Volgende post zullen we nog enkele zeer handige technieken en stellingen introduceren en nog enkele vraagstukken maken.

WiskundeJongen

Krijg je maar niet genoeg van ongelijkheden? Hieronder vind je een paar documentjes en links waarmee je kunt oefenen.

http://studwww.ugent.be/~pwvdendr/ongelijkheden.pdf
http://www.win.tue.nl/~gpuite/lesbrief/training0809/mrt09ongelijkheden1.pdf
http://www.win.tue.nl/~gpuite/lesbrief/trainFokkoongelijk.pdf

http://sotseurm.files.wordpress.com/2012/08/pham-kim-hung-secrets-in-inequalities-volume-1.pdf

Getaltheorie met inductie (wiskundemarathon #5)

Hallo wiskundefreaks,

in korte vijfde deel van de wiskundemarathon los ik één opgave op van getaltheorie (ik vond deze vraag in de bundel getaltheorie van de Nederlandse training voor de International Mathematical Olympiad). De opgave luidt: wiskundemarathon deel 5 afbeelding
We definiëren de functie  p(n) als het aantal priemfactoren 2 in  (n+1)(n+2)...(2n) . Eerst observeren we enkele gevallen:
 p(1)=1
 p(2)=2
 p(5)=5
 p(13)=13

We krijgen het vermoeden dat \forall n\in \mathbb{N}: p(n)=n .
Nu gaan we dit bewijzen met onze welbekende techniek: volledige inductie (zie wiskundemarathon #4).

Inductiebasis: Voor  n=0 is het duidelijk dat  p(0)=0 .
Inductiestap: We stellen dat  (n+1)(n+2)...(2n)=2^n \cdot k met  k=2m+1  (m \in \mathbb{N}). Dit is gelijk aan stellen dat  p(n)=n .

Nu moeten we bewijzen dat  p(n+1)=n+1 :

 (n+2)(n+3)...(2n)(2n+1)(2n+2)
= (n+2)(n+3)...(2n)(2n+1)\cdot 2 \cdot (n+1)
 = 2\cdot 2^n\cdot k\cdot (2n+1)
 = 2^{n+1}\cdot k\cdot (2n+1)
\Rightarrow p(n+1)=n+1
 \square

WiskundeJongen

PS: Trouwe lezers zullen opgemerkt hebben dat ik mijn archaïsh “q.e.d.” heb ingewisseld door het modernere  \square om het einde van een bewijs aan te duiden. Dit symbool is indertijd voorgesteld door Paul Halmos.

Inductie (wiskundemarathon #4)

Gegroet wiskundige gelijkgezinden,

vandaag is het tijd voor deel 4 van onze wiskundemarathon. Vandaag lossen we enkele opgaves op met een speciale techniek, namelijk inductie. Op deze website vond ik deze definitie en werkwijze voor volledige inductie: volledige inductie

Nu we weten wat inductie precies is, maken we een paar opgaves lukraak geplukt uit het wiskundearsenaal. We beginnen met een paar gemakkelijke en gaan dan verder naar een paar minder gemakkelijke.

(Een klassieker)
1. Bewijs dat voor n\in \mathbb{N}, geldt dat \sum_{i=0}^{n}i =\frac{n(n+1)}{2}
Inductiebasis: We vinden dat dit geldt voor n=0 want 0=0
Inductiestap: We nemen aan dat \sum_{i=0}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}. Nu moeten we enkel nog bewijzen dat het ook voor n+1 geldt.
\sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{n(n+1)}{2}+n+1

<=> \sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{n^2+n+2n+2}{2}

<=> \sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{n(n+2)+(n+2)}{2}

<=> \sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{(n+1)(n+2)}{2}

q.e.d.

2. Bewijs dat voor  n,k\in \mathbb{N} (we definiëren  \mathbb{N}=\{ 1,2,3...\} ) geldt dat  3^{2n+1}+2^{n-1}=7k
Inductiebasis:  n=1 \Rightarrow 3^{3}+2^0=28=7\cdot 4
Inductiestap: Stel dat  3^{2n+1}+2^{n-1}=7k, dan moeten we enkel nog bewijzen dat  3^{2(n+1)+1}+2^{(n+1)-1}=7l met l\in \mathbb{N} .

 3^{2(n+1)+1}+2^{(n+1)-1}
 =3^{2n+3}+2^{n}
 =9\cdot 3^{2n+1}+2\cdot 2^{n-1}
 =2\cdot (3^{2n+1}+2^{n-1})+7\cdot 3^{2n+1}
 =14k+7\cdot 3^{2n+1}
 =7\cdot (2k+3^{2n+1})

q.e.d.

3. Bewijs dat voor  n\in \mathbb{N} en  n\geqslant 2 geldt dat:  n!-1 kan geschreven worden als de som van  n-1 delers van  n!
Inductiebasis: n=2 \Rightarrow 2!-1=1
Inductiestap:  a_1, a_2, a_3...a_{n-1} zijn delers van  n!
=>  n!-1=a_1+a_2+...+a_{n-1}

Na een beetje zoeken vinden we dat:  (n+1)!-1=(n+1)(a_1+a_2+...+a_{n-1})+n
Als we dit kunnen bewijzen, hebben we het gevraagde bewezen want bovenstaande is een som met n termen die allemaal delers van  (n+1)! zijn.

 (n+1)!-1=(n+1)(a_1+a_2+...+a_{n-1})+n
 \Leftrightarrow (n+1)!-1=(n+1)(n!-1)+n
\Leftrightarrow (n+1)!-1=n\cdot n!+n!-n-1+n
 \Leftrightarrow(n+1)!-1=(n+1)\cdot n! -1=(n+1)!-1

q.e.d.

4. Bewijs dat voor  n,k \in \mathbb{N} geldt:  4^n+15n-1=9k
(we definiëren  \mathbb{N}=\{ 1,2,3...\} )
Inductiebasis: voor  n=1 \Rightarrow 4+15-1=18=9\cdot 2
Inductiestap: We nemen aan dat  4^n+15n-1=9k. We moeten allen nog maar bewijzen dat dit ook voor n+1 geldt.

 4^{n+1}+15(n+1)-1
=4\cdot 4^n +15n +15-1
 = 9k+3\cdot 4^n +15
 = 9k+3\cdot (4^n+5)

Hier zitten we vast. We moeten nu kunnen bewijzen dat voor  n,m \in \mathbb{N} geldt dat   4^n+5=3m. We doen dit met inductie.
Inductiebasis:  n=1 \Rightarrow 4+5=3\cdot 3
Inductiestap: We stellen dat  4^n+5=3m. Nu bewijzen we dat  4^{n+1}+5=3p met  p\in \mathbb{N} .

 4^{n+1}+5
= 3p +3\cdot 4^n
= 3\cdot (p+4^n)

Als we dit invullen in ons vorig bewijs, vinden we:

 9k+3\cdot(4^n+5)
 = 9k+9\cdot (p+4^n)
 = 9\cdot (k+p+4^n)

q.e.d.

WiskundeJongen

wiskundemarathon #3

Hallo wiskundefreaks,

vandaag lossen we enkele finale- en 2de ronde-vragen van de Vlaamse Wiskunde Olympiade op. De eerste twee komen uit de 2de ronde van de VWO 2008-2009. Ze zijn niet zo moeilijk, maar we posten ze toch omdat we zo van rijen houden. We love it!
a) De eerste opgave is:

finalevraag25
1) We noemen S=\left ( 2+1 \right )\left ( 2^{2}+1 \right )\left ( 2^{4}+1 \right )...\left ( 2^{1024}+1 \right )+1

2) Deze vraag ziet er op het eerste gezicht zeer ingewikkeld uit, maar als we de vraag beter bestuderen zien we dat: S=(2+1)\left ( 2^{2}+1 \right )\left ( 2^{4}+1 \right )...\left ( 2^{1024}+1 \right )+1
<=> S=\left ( 1+2+2^{2}+2^{3} \right )\left ( 2^{4}+1 \right )...\left ( 2^{1024}+1 \right )+1
<=> S=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{k}+1

3) We zien dat er een meetkundige rij ontstaat. Alleen weten we k (nog) niet. We merken op dat:
k=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{10}
<=> 2k=2+2^{2}+2^{3}+...+2^{11}
<=> 2k-k=2^{11}-1
<=> k=2^{11}-1

4) Nu berekenen we S verder:
S=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{k}+1
<=> S-2=2+2^{2}+2^{3}+...+2^{k}
<=> 2\left ( S-2 \right )=2^{2}+2^{3}+...+2^{k+1}
<=> 2\left ( S-2 \right )-\left ( S-2 \right )=2^{k+1}-2
<=> S=2^{k+1}
<=> S=2^{2^{11}}
5) Tenslotte bepalen we de 1024-ste machtswortel van S.
\sqrt[1024]{S}=\sqrt[1024]{2^{2^{11}}}=\sqrt[1024]{\left ( 2^{2} \right )^{2^{10}}}=\sqrt[1024]{4^{1024}}=4

Het antwoord is dus (D) 4.

b) De tweede opgave gaat als volgt:
finalevraag26

1) Deze vraag kunnen we in een ruk oplossen:
22=\frac{3+4+5+...+\left ( n^{2}-3 \right )}{n^{2}}
<=> 22n^{2}=\left ( 1+2+3+...+\left ( n^{2}-3 \right ) \right )-3
<=> 22n^{2}=\frac{1}{2}\left ( n^{2}-3 \right )\left ( n^{2}-2 \right )-3
<=> 44n^{2}=\left ( n^{2}-3 \right )\left ( n^{2}-2 \right )-6
<=> 44n^{2}=n^{4}-3n^{2}-2n^{2}+6-6
<=> 44=n^{2}-5
<=> n=7
Het juiste antwoord is dus (A) 7.

c) De laatste vraag die we vandaag gaan oplossen is er een uit de finale van de JWO 2005-2006.
Deze gaat als volgt: finalevraag2005
1) We moeten dus aantonen dat K=\left ( 1+m \right )\left ( 1+\frac{m}{2} \right )...\left ( 1+\frac{m}{n} \right ) gelijk is aan

L=\left ( 1+n \right )\left ( 1+\frac{n}{2} \right )...\left ( 1+\frac{n}{m} \right ).

2) We bepalen eerst K:
K=\left ( 1+m \right )\left ( 1+\frac{m}{2} \right )...\left ( 1+\frac{m}{n} \right )

<=> K=\left ( 1+m \right )\left ( \frac{2+m}{2} \right )...\left ( \frac{n+m}{n} \right )

<=> K=\frac{\left ( m+1 \right )\left ( m+2 \right )...\left ( m+n \right )}{n!}

3) \left ( m+1 \right )\left ( m+2 \right )...\left ( m+n \right ) kunnen we ook schrijven als:

\frac{\left ( m+n \right )!}{m!}
Daaruit volgt dat K=\frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}
4) Nu bepalen we L.
L=\left ( 1+n \right )\left ( 1+\frac{n}{2} \right )...\left ( 1+\frac{n}{m} \right )

<=> L=\frac{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( m+n \right )}{m!}
5) Analoog als in 2 kunnen we \left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( m+n \right ) schrijven als \frac{\left ( m+n \right )!}{n!}
Daaruit volgt dat L=\frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}.
6) We hebben nu bewezen dat K=L want \frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}=\frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}

Nog wiskundemarathonartikels volgen…

WiskundeJongen

VWO finale 2005-2006 vraag 4 (wiskundemarathon #2)

Hallo wiskundefreaks,

vandaag los ik een finalevraag op van de finale van de Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006. Deze gaat als volgt:finale05
We zoeken dus alle  n\in \mathbb{N} waarvoor geldt:
n=k^{2}  en n+2005=l^{2} met k,l\in \mathbb{N}.

1) geg: n=k^{2}  en n+2005=l^{2} met k,l\in \mathbb{N}
opl: l^{2}-k^{2}=n+2005-n
<=> l^{2}-k^{2}=2005
<=> \left ( l-k \right )\left ( l+k \right )=2005

2) We vinden dat  \left ( l-k \right )\left ( l+k \right )=2005. Omdat l,k\in \mathbb{N}  kunnen we besluiten dat l-k en l+k delers zijn van 2005.

3) We vinden 2 mogelijkheden:
\left\{\begin{matrix}l-k=1\\l+k=2005 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} l-k=5\\l+k=401 \end{matrix}\right.

<=> \left\{\begin{matrix} k=1002\\l=1003 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} k=198\\l=203 \end{matrix}\right.

4) We vinden dus 2 oplossingen:  n=1002^{2}\vee n=198^{2}.
Wanneer we deze oplossingen controleren, vinden we: \sqrt{1002^{2}}+\sqrt{1002^{2}+2005}=\sqrt{1002^{2}}+\sqrt{1003^{2}}=2005 en \sqrt{198^{2}}+\sqrt{198^{2}+2005}=\sqrt{198^{2}}+\sqrt{203^{2}}=401.

Q.E.D.

WiskundeJongen

PS: in een volgende post ga ik hier dieper op in.

JWO finale 2006-2007 vraag 1 (wiskundemarathon #1)

Hallo wiskundefreaks,

vandaag ga ik de eerste finalevraag van de Junior Wiskunde Olympiade (editie 2006-2007) maken. Deze gaat als volgt:finalej07

1) Eerst berekenen we het hoogste getal van de n-de rij (G_{n}). Je ziet direct dat dit gelijk is aan:
G_{n}=1+2+3+...+(n-1)+n
<=> G_{n}=\frac{n(n+1)}{2}

2) Nu berekenen we het kleinste getal (K_{n}) van de n-de rij. Dit is 1 meer dan het hoogste getal van de (n-1)-de rij:
K_{n}=G_{n-1}+1
<=> K_{n}=\frac{n(n-1)}{2}+1

3) Ten slotte berekenen we de som van de n-de rij (S_{n}):
S_{n}=K_{n}+\left ( K_{n}+1 \right )+...+\left ( G_{n}-1 \right )+G_{n}

<=> S_{n}=K_{n}\left ( G_{n}-K_{n}+1 \right )+1+2+3+...+G_{n}

<=> S_{n}=K_{n}\left ( G_{n}-K_{n}+1 \right )+\frac{\left ( G_{n}-K_{n} \right )\left ( G_{n}-K_{n}+1 \right )}{2}

<=> S_{n}=\left ( K_{n}-G_{n}+1 \right )\left ( K_{n}+\frac{G_{n}-K_{n}}{2} \right )

<=> S_{n}=\left ( K_{n}-G_{n}+1 \right )\left ( \frac{K_{n}+G_{n}}{2} \right )

<=> S_{n}=\frac{1}{2}\left ( \frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n-1)}{2}-1+1 \right )\left ( \frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}+1 \right )

<=> S_{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n(n+1-n+1)}{2}\cdot \frac{n(n+1+n-1)+2}{2}

<=> S_{n}=\frac{1}{2}\cdot n \cdot (n^{2}+1)

<=> S_{n}=\frac{n^{3}+n}{2}

4) Nu berekenen we de som van de 100ste rij:

S_{100}=\frac{100^{3}+100}{2}=500050

EXTRA: zoek alle n waarvoor S_{n} priem is

1) We onderzoeken eerst alle even n.
Als n even is, is  \frac{n}{2}  een natuurlijk getal en dus deler van S_{n}.
De definitie van een priemgetal zegt ons dat een natuurlijk getal (groter dan 1) priem is als en slechts als het getal precies 2 delers heeft, namelijk 1 en zichzelf. Afgaande de definitie moet, als S_{n} priem is,  n^{2}+1 of \frac{n}{2} gelijk zijn aan 1.
=> n=2 \vee n=0 zodat S_{n}=5 \vee S_{n}=0 ( S_{n}=0 valt weg, want S_{n} is niet gedefiniëerd voor S_{n}=0.

We vinden dus 1 opl. namelijk S_{n}=5 met n=2

2) Nu onderzoeken we alle oneven n.
Als n oneven is dan is \frac{n^{2}+1}{2} een natuurlijk getal en dus een deler van S_{n}.
Afgaande de dfinitie van een priemgetal moet n of \frac{n^{2}+1}{2} gelijk zijn aan 1.
=> n=1\vee n=1 zodat S_{n}=1 (deze opl. valt weg want 1 is geen priemgetal)

3) We vinden één opl. namelijk S_{n}=5 met n=2

WiskundeJongen

Afgeleide van Hogere Orde

Hallo wiskundefreaks,

deze post gaat over hogere afgeleiden, specifiek deze afgeleide: D^{n}x^{n}=n!. We zullen deze afgeleide bewijzen via inductie. Er zijn dus drie stappen: we bewijzen deze formule voor n=1, voor n en voor n+1.

1) We bewijzen deze formule voor n=1.
\large Dx=\lim_{a\rightarrow x}\frac{x-a}{x-a}=1=1!

2) Nu bewijzen we de formule voor n. We gaan ervan uit dat dit waar is.

\large D^{n}x^{n}=n!

3) Als we nu kunnen bewijzen dat deze eigenschap geldt voor n+1 hebben we het bewezen.

\large D^{n+1}x^{n+1}=D^{n}\left ( Dx^{n+1} \right )   

#\fn_cs Dx^{n+1}=(n+1)\cdot x^{n}

\large D^{n+1}x^{n+1}=D^{n}\left ( (n+1)\cdot x^{n}\right)

#\fn_cs D(f\cdot g)=Df\cdot g+f\cdot Dg

\large D^{n+1}x^{n+1}=\left ( D^{n}x^{n} \right )\cdot \left ( n+1 \right )+\left ( D^{n}n+1 \right )\cdot x^{n} 

#\fn_cs D^{n}x^{n}=n!

\large D^{n+1}x^{n+1}=n!\cdot (n+1)+\left ( D^{n}n+1 \right )\cdot x^{n}  

#\fn_cs C\in\mathbb{R}\Rightarrow D(C)=0

\large D^{n+1}x^{n+1}=\left ( n+1 \right )!+0\cdot x^{n}

\large D^{n+1}x^{n+1}=\left ( n+1 \right )!

Q.E.D.

WiskundeJongen

MathBooks + Raspberry Pi

Hallo wiskundefreaks,

welke boeken mogen niet ontbreken in je wiskundeboekenkast? En wat is Raspberry Pi precies? Dit komt u in dit artikel allemaal te weten.

MathBooks

symmetriemonsterHet Symmetriemonster van Marcus Du Sautoy is een aanrader voor iedereen die van wiskunde houdt. Marcus Du Sautoy vertelt ons in het boek zijn zoektocht naar symmetrie. Hij daagt ons uit om overal symmetrie te zoeken. Ook ontdek je het Monster, een gigantische sneeuwvlok die zich voordoet in de 196.883-dimensionale ruimte (Ja, er zijn meer dan 3 dimensies). Je leert in dit boek ook veel wiskundegeschiedenis over bv. Galois en Cauchy. Ik heb al de eerste 200 pagina’s gelezen en ik kan niet meer stoppen met lezen. Verdere posts volgen over dit onderwerp!!!

Marcus Du Sautoy zit ook op Twitter. Volg hem net als mij via deze link.

 

the language of mathematicsEen ander boek dat hier zeker niet mag ontbreken is The Language Of Mathematics van Keith Devlin. Dit Engelstalige boek inspireerde Marcus Du Sautoy om wiskunde te gaan studeren.  Het is een echte lofzang over de schoonheid van de wiskunde. Elke wiskundige zou dit boek eens in zijn leven gelezen moeten hebben. Het doet verhaal over integraalrekening, bolmeetkunde, getaltheorie… en ga zo maar door. Het doet je echt zin krijgen in wiskunde. Soms wordt er dieper in gegaan op een belangrijk bewijs of stelling.

Een mooi bewijs uit het boek, afkomstig van Euclides, is het bewijs om aan te tonen dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Je wil dus bewijzen dat als we de priemgetallen zo zouden ordenen p_{1}, p_{2},p_{3},... deze verzameling oneindig is. Om dit te bewijzen vermenigvuldig je alle priemgetallen die je tot dan kent (hoogste priemgetal die je kent=p_{n}) en je telt daar 1 bij op: P=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot ...\cdot p_{n}+1.

  • P is nu ofwel priem ofwel niet-priem. Als P priem is, dan is het groter dan alle andere priemgetallen en is de verzameling dus nog niet volledig.
  • Maar als P niet priem is, dan is P wel deelbaar door een priemgetal. Nu is er geen enkel priemgetal uit de lijst die aan deze voorwaarde voldoet, want je krijgt telkens een rest. Daaruit kun je besluiten dat er een ander priemgetal moet bestaan, die niet in de lijst voorkomt die een deler is van P.
    Deze handeling kun je blijven herhalen en je zult telkens kunnen besluiten dat er een groter priemgetal bestaat.

Quid Est Demonstrandum

Dit boek is dus een echte must-to-have voor de wiskundeliefhebber.

Raspberry Pi

Pi-boardRaspberry Pi is de nieuwste hit in informaticaland. Er zijn er al meer dan 2 miljoen wereldwijd verkocht. Raspberry Pi is een kleine chip die  een hele computer is. Je kunt er mee op internet, je kunt er documenten op maken… de mogelijkheden zijn te veel om op te noemen. Op zich is dit niet zo speciaal, een computer kan dat ook en veel sneller ook. Het speciale zit in het feit dat je het helemaal zelf kan programmeren en je kan er allerlei toestellen op aansluiten. Men heeft al eens zo’n Raspberry Pi de lucht in geschoten om metingen te verrichten. Het leuke was dat het omhulsel een kleine Tardis was! Met dit toestel leer je een echte computer programmeren. Een van de talen die je er door leert is Python. Onlangs heb ik er ook een gekocht en ik ben zo nieuwsgierig om er allerlei interessante dingen mee te gaan doen. Meer posts volgen…

Dit was weeral een “Broodnodig voor uw boekenkast”-post. Andere soortgelijke posts zullen volgen om uw up-to-date te houden over de wiskunde-en wetenschapsliteratuur.

WiskundeJongen

PS: Vergeet zeker niet te kijken naar de kerstmisaflevering van Doctor Who. Geronimo!!!

Doctor-Who-Xmas-2013-poster-horizontal-black-wide-560x282

Koch-sneeuwvlok

koch snowflake

 

Hallo wiskundenerds,

in deze post zal ik het hebben over de Koch-sneeuwvlok. Deze sneeuwvlok ontstaat door op een gelijkzijdige driehoek telkens volgende stappen te ondernemen (zie foto onder). Op de foto zie wat we telkens doen met een zijde van de driehoek.
Koch_curve_(L-system_construction)

Dit is allemaal wel mooi, maar wat mij interesseert is wat de oppervlakte van deze Koch-sneeuwvlok is. Laten we het onderzoeken.

fractalkochflakeWe stellen de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek gelijk aan A_{1}. We zullen nu de oppervlakte bepalen per stap. Stap 1 a_{1} (= foto linksboven) is de gelijkzijdige driehoek alleen.

\large a_{1}=A_{1}

Stap 2 a_{2}= foto rechtsboven. De oppervlakte van de kleine driehoekjes zijn 9 keer kleiner dan de oppervlakte van de grote driehoek.

\large a_{2}=A_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}

Stap 3 a_{3}= foto linksonder. De kleinste driehoekjes zijn 81 maal kleiner dan de grote driehoek.

\large a_{3}=A_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}

Stap 4 a_{4} = foto rechtsonder. De kleinste driehoekjes zijn 729 maal kleiner dan de grote driehoek.

\large a_{4}=1_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}

Nu zoeken we de oppervlakte van de Koch-sneeuwvlok bij de n-de stap a_{n}.

\large a_{n}=A_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}+...+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-2}}{3^{2n-2}}

\large a_{n}-A_{1}=\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}+...+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-2}}{3^{2n-2}}

\large \left ( a_{n}-A_{1}\right )\cdot \frac{4}{3^{2}}=\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}+...+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-1}}{3^{2n}}

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )-\left ( a_{n}-A_{1}\right )\cdot \frac{4}{3^{2}}=\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}-\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-1}}{3^{2n}}

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )\cdot \left ( 1-\frac{4}{3^{2}} \right )=A_{1}\left ( \frac{1}{3}-\frac{3\cdot 4^{n-1}}{3^{2n}} \right )

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )\cdot \frac{5}{9}=A_{1}\left ( \frac{1}{3}-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-1}} \right )

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )\cdot \frac{5}{9}=\frac{A_{1}}{3}\cdot \left ( 1-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-2}} \right )

\large a_{n}-A_{1} =\frac{A_{1}\cdot 3}{5}\cdot \left ( 1-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-2}} \right )

\large a_{n}=A_{1}+\frac{A_{1}\cdot 3}{5}\cdot \left ( 1-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-2}} \right )

\large a_{n}=A_{1}\cdot \left ( 1+\frac{3}{5}-\frac{ 4^{n-1}\cdot 3}{3^{2n-2}\cdot 5} \right )

\large a_{n}=A_{1}\cdot \left ( \frac{8}{5}-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-3}\cdot 5} \right )

\large a_{n}=\frac{4\cdot A_{1}}{5}\cdot \left ( 2-\frac{ 4^{n-2}}{3^{2n-3}} \right )

We hebben nu een formule om de oppervlakte te berekenen na de n-de stap. De vraag is nu: wat is de oppervlakte na oneindig veel stappen? We bekijken de term b_{n}=\frac{4^{n-2}}{3^{2n-3}}van naderbij.

Als n=1, dan is \large b_{1}=\frac{4^{1-2}}{3^{2\cdot 1-3}}=0,75

als n=2, dan is \large b_{2}=\frac{4^{2-2}}{3^{2\cdot 2-3}}=0,33...

als n=3, dan is \large b_{3}=\frac{4^{3-2}}{3^{2\cdot 3-3}}=0,148148...

We kunnen besluiten dat b_{1}> b_{2}> b_{3}> ... waaruit volgt dat \large \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=0.
Daaruit volgt dat \large a_{n}=\frac{8}{5}A_{1} bij \large n=\infty.
Als we dus oneindig veel stappen ondernemen, is de oppervlakte gelijk aan \large \frac{8}{5}A_{1}.

LEVE DE WISKUNDE!!!

WiskundeJongen

 

 

1 planet, 2 suns

Plentiful PlanetsIn dit artikel stel ik mijn nieuw project aan jullie voor. Het heet 1 planet, 2 suns wat een zeer toepasselijke naam is zoals je zult zien. Dit project heeft als doel de baan van een planeet te volgen wanneer hij zich bevindt in een zonnestelsel met twee zonnen (of sterren). Ik heb alles al uitgewerkt op papier zoals je hier kunt zien. De volgende stap is de formules en werkwijzes omvormen tot een algoritme die bruikbaar is. Hopelijk krijgen we nu nieuwe inzichten door dit project over zonnestelsels met 2 zonnen.

Verder berichten volgen,
FysicaJongen

TEDxBrussels

png_13946

Hallo wetenschapsnerds,

op 28 oktober 2013 was de place-to-be de Bozar in Brussel, want daar nam TEDxBrussels plaats. 1500 mensen (waarvan 5 jongeren, zie tweet) zaten van 9.00 tot 19.00 uur vol verwachting en met open mond te luisteren naar 25 speeches vol met ideeën.Airbus_A300_B2_Zero-G Eén daarvan ging over 3D-printen in de ruimte door Jason Dunn. Hij heeft een bedrijf opgestart, Made In Space (MIS), dat als doel heeft een 3D-printer in het ISS te krijgen. Deze 3D-printer zal niet gewoon zijn, maar wel een door hen zelfgemaakte printer. Ze hadden al eens vele 3D-printers getest op hun efficiëntie en bruikbaarheid in een Zero G-vliegtuig, maar Jason Dunn en zijn team konden telkens maar 20 seconden gewichtloos zijn met het vliegtuig. Dit bemoeilijkte het testen van de 3D-printers. Geen enkele printer bleek toen bruikbaar, dus beslisten ze om er dan zelf maar een te maken. De 1ste augustus van 2014 is de lanceerdag voor de 3D-printer. Vanaf die dag zal er veel veranderen voor de ruimtevaart. Geïnteresseerd? Ga naar madeinspace.us.

“No brain, no pain.”

citaat van Steven Laureys over het feit dat als je hersendood bent, je niets meer voelt.

made-in-space-upside-downVoordelen van een 3D-printer in het ISS Het probleem met de ruimtevaart is de hoeveelheid energie je nodig hebt om van de aarde naar het ISS te gaan. Je moet minstens met 11km/seconde vliegen om van de Aarde weg te komen. Daar heb je zeer veel energie voor nodig en het kost ook zeer veel. 1 fles water naar het ISS brengen kost $10.000! Oplossingen hiervoor zijn ofwél de afstand tussen het ISS en de voorraadplaats (de Aarde) verminderen ofwél de producten sneller naar het ISS brengen door middel van betere motors die minder energie verspillen. De ruimtevaart heeft tot nu toe enkel op deze 2de optie geïnvesteerd, maar Made In Space wil op deze 1ste optie investeren. Als hun 3D-printer van start kan gaan, kan de printer onderdelen printen die anders met een raket moesten worden gebracht.

“Dinosaurs are extincted because they hadn’t a spaceprogram.”

een citaat van Jason Dunn tijdens TEDxBrussels

De 3D-printer is dus zowel tijdsbesparend en goedkoper voor de ruimtevaart. Ook kan de 3D-printer nu materialen en onderdelen printen die anders nooit in het ISS geraakt zouden zijn. Sommige materialen zijn zeer bruikbaar in de ruimte maar zouden de weg naar het ISS niet overleven doordat ze zouden kapotgaan door de vele G-krachten die ze te verduren krijgen tijdens de lancering. aau-satEen ander voordeel van de 3D-printer is dat ze nu ook in het ISS zelf zogenaamde cube satellites zullen kunnen printen. Deze cube satellites zijn zeer kleine kubusachtige satellieten die zeer handig zijn omdat ze goedkoop en makkelijk te maken zijn. Gewoonlijk moet één of meerdere cube satellites mee worden gedragen naar de ruimte door een grotere satelliet en dit is alweer zeer duur.

Via deze weg wil ik TEDxBrussels nog eens bedanken om mij een onvergetelijke dag te laten beleven.

Bekijk al mijn tweets tijdens TEDxBrussels hier.

!!!25/10/2013 Eén van de sprekers (Steven Laureys) heeft mijn tweet als favoriet!!!
!!!29/10/2013 Jason Dunn retweette mijn tweet!!!

Broodnodig voor uw boekenkast

Dag wetenschapsfreaks,

in dit artikel zal ik het hebben over alle boeken die broodnodig zijn in je boekenkast. Ik zal systematisch per onderwerp werken met telkens de verantwoording waarom je het boek in huis moet halen.

Chemie

Elementen ontraadseldElementen ontraadseld van Sam Kean: dit boek is een bloemlezing voor het periodiek systeem. Zoals de titel al verraadt, wordt elk element min of meer afzonderlijk ontrafeld, binnenstebuiten gekeerd en blootgelegd voor de lezer. Met grappige anekdotes, leuke wetenswaardigheden en pure chemie leer je de elementen en de wereld van de chemie steeds beter kennen. Zo lees je bijvoorbeeld dat het er niet altijd zo vriendelijk aan toegaat in de wereld van de chemie, dat het langste Engelse woord de wetenschappelijke naam is van het tabaksmozaïekvirus is, dat in ons Melkwegstelsel alleen al 31574 beschavingen moeten zijn en zoveel meer. Ook staan er in het boek vele leuke links naar interessante en verrassende artikels en foto’s. Zo kom je ook te weten dat niet alleen elektronen in schillen zitten, maar ook de kern van een atoom uit schillen bestaat (dit is de oorzaak dat O2 =dizuurstof zoveel voorkomt in de natuur). Dit 382-pagina’s dikke boek zal een vriend en toeverlaat zijn voor elke verstokte chemiefan .
Elementen ontraadseld in 3 woorden: alles is chemie!

Biologie

wij zijn ons breinWij zijn ons brein van Dick Swaab: dit 465-pagina’s dikke boek is hét boek om de neurobiologie (leer van de hersenen) te leren kennen. De dikte van het boek mag je zeker niet afschrikken want Dick Swaab is er in geslaagd om een zo moeilijk thema toch begrijpelijk te maken. Je leert in het boek over wat er gebeurt als alleen je hersenstam nog functioneert (je bent in een vegetatieve toestand), hoe onze hersenen geëvolueerd zijn, wat de relatie van onze hersenen met religie is, wat de grote levensvragen van de mensheid zijn, waarom boksers toch zo graag boksen (hoewel het niet zo gezond voor hun lichaam is) en zoveel meer. Soms gaat D. Swaab eens de zeer theoretische kant op maar dat is zeer zelden. Elk hoofdstuk kun je ook elk afzonderlijk lezen. Dit boek brengt je tot de essentie van het mens-zijn.
Wij zijn ons brein in 4 woorden: je brein beslist alles

Wiskunde

vademecum van de wiskundeVademecum van de wiskunde: dit boekje is geen leesboek maar wel een zeer handig instrument (handboekje) die in elke boekenkast van een  zichzelf respecterende wiskundige moet liggen. Je vindt er alle “basisformules” (\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}=ln\left ( x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}} \right )+C is nu ook weer geen basiskennis) +uitbreiding van analytische meetkunde, differentiaalrekening, algebra, trigonometrie….. Handig om eens iets te controleren of een trucje toe te passen (zie komend artikel van wiskundejongen). Daarbij hoort ook het iets dikkere The Penguin Dictionary of Mathematics. Dit wiskundeboek gaat iets breder en is niet bedoeld als formuleboekje maar eerder als “leesboek” over wiskunde. Ik zelf kan er soms uren in rond neuzen, me verbazend over de grootte en de verscheidenheid van de wiskunde. Hier gaat het onderandere over de chaostheorie, de regel van Newton, Dijkstra’s algoritme en zoveel meer. Het is in het Engels maar dat is geen obstakel. De taal is zeer begrijpelijk.

Statistiek/Logica

oogklepdenkenOogklepdenken van Ruben Mersch: dit broodnodig boek (citaat Lieven Scheire) is het boek dat de idioot in iedereen van ons beschrijft. “Waarom we allemaal idioten zijn” is dan ook een zeer korte samenvatting van het boek. Iedereen kent optische illusies, maar we maken dagelijks ook logische illusies mee. Voortdurend maken we denkfouten zonder het te beseffen. Een voorbeeld uit de Amerikaanse reeks The Simpsons: In Springfield duikt plots een beer op. Meteen organiseert de stad een berenpatrouille om er zeker van te zijn dat er zich geen enkele beer meer in de stad durft te vertonen. Deze conversatie tussen Homer en Lisa neemt plaats na de oprichting van de patrouille:

  • Homer: ‘Ahhh…. Geen beer te zien. De berenpatrouille doet duidelijk zijn werk.’
  • Lisa: ‘Dat is een denkfout, pa.’
  • Homer: ‘Bedankt, schat.’
  • Lisa (raapt een steen op): ‘Volgens diezelfde logica kan ik beweren dat deze steen tijgers weghoudt.’
  • Homer: ‘Ooooh… Hoe werkt het?’
  • Lisa: ‘Het werkt niet, het is gewoon een stomme steen. Maar ik zie hier geen enkel tijger.
  • Homer: ‘Lisa, ik wil jouw steen kopen!’

lisaDe denkfout is de volgende: uit het feit dat er geen beren meer zijn, concludeert Homer dat dat komt door de patrouille, maar dat kun je zonder grondig onderzoek niet weten. Ruben Mersch wijst je in het boek op alle logische valkuilen zodat je je eigen idiote ik ontdekt. Je zult zien dat je opeens helemaal anders naar de wereld rondom je zult kijken.

 

Deze boeken zijn alleen een selectie uit vele boeken die zeer interessant en broodnodig zijn voor de wetenschapsfreak. Daarom zullen er nog verschillende andere soortgelijke posts volgen om u up-to-date te houden in verband met de wetenschapsliteratuur.

WiskundeJongen

noot van de schrijver: al deze boeken heb ik al zelf gelezen en gekeurd om hun kwaliteit. Alleen de beste boeken komen door de selectie.

Analytische meetkunde + fysica

iloveschrodinger

Hallo wetenschapsfreaks,

hier spreekt wiskundejongen weer. Na een paar weken afwezigheid (examens) kunnen we er in de vakantie weer stevig invliegen. Momenteel ben ik bezig met een project waarin ik analytische meetkunde, fysica, astronomie en Excel gebruik. Benieuwd wat het is? Wanneer het klaar is, post ik het direct op deze website.

Maar er komen ook nieuwe artikels: een post over science-music, welke wetenschapsboeken nuttig en broodnodig zijn in je boekenkast, mijn ervaring tijdens de Natuurwetenschappenolympiade en zoveel meer.

Tijdens de vakantie komt er ook een nieuw lid bij in het WiskundeJongenTeam. Later vertel ik wie het is. Zijn entree wordt eind juni verwacht.

Veel vakantiegroeten en wie maandag nog examens heeft: veel succes!

Het WiskundeJongenTeam

Coëfficiënten chemische reactie

chemieLaatst moest ik (chemiejongen) een oefening over de coëfficiënten van chemische reacties aanvullen. Ik vroeg mijn leerkracht chemie of er een methode bestond om deze in te vullen. Ze zei dat er geen bestond (ze wist het dus niet), maar dat vond ik raar. Daarom maakte ik zelf een methode. Je kunt er alle oefeningen mee maken. Hieronder staat mijn uitgeschreven methode voor de chemische reactie: Cu+HNO_{3}\rightarrow Cu(NO_{3})_{2}+H_{2}O+NO_{2}   De methode is gebaseerd op logica. Aan de linkerkant van de reactiepijl moeten er evenveel H, N, O en Cu-atomen staan. De letters (a,b,c,d en e) staan voor de coëfficiënten van de chemische formule onder de letter (zie foto).

Methode ontwikkeld door chemiejongen: geïllustreerd aan de hand van Cu+HNO_{3}\rightarrow Cu(NO_{3})_{2}+H_{2}O+NO_{2} 

  1. Geef elk stukje (stuk 1= Cu; stuk 2=HNO3; …) van de reactievergelijking een naam (bv. a, b,c,d en e)
  2. Beschouw de eerste atoomsoort van het eerste stukje (hier Cu) en schrijf de naam van het stukje op vermenigvuldigd met zijn index gevolgd door een gelijkheidsteken1\cdot a=.(Als er nog een Cu-atoom aan de linkerkant staat tel je die op bij het eerste op dezelfde wijze als het vorige: index maal naam stuk (bv. 1\cdot a+5\cdot b=)
  3. Bekijk daarna de andere stukjes en kijk waar aan de rechterkant er andere Cu-atomen staan. Bij onze reactievergelijking is er nog een Cu-atoom in stukje c. Je schrijft de naam van het stukje vermenigvuldigd met de index rechts van het gelijkheidsteken. Bij onze reactie wordt dat: 1\cdot a=1\cdot c. Als er nog andere Cu-atomen aan de rechterkant staan, dan tel je ze bij de andere op vermenigvuldigd mat zijn index.
  4. Zo bekom je je eerste gegevena=c.
  5. Zo ga je verder met de andere atoomsoorten.
  6. Voor deze reactie bekom ik als gegeven: a=cb=2\cdot db=2\cdot c+e ; 3\cdot b=6\cdot c+d+2\cdot e.
  7. Je voegt nu de vergelijkingen waarbij je één letter vergelijkt met meerdere andere, bij elkaar en gebruikt de andere gegevens om er een vergelijking uit te halen zodat je één letter met één andere letter vergelijkt. 3\cdot b=6\cdot c+d+2\cdot e en b=2\cdot c+e samenvoegen en je bekomt met gebruik van het gegeven d=\frac{1}{2}\cdot b, deze formule e=2\cdot c. Bekijk voor de werkwijze naar de foto onderaan.
  8. Nu kies je voor één letter een zo klein mogelijke waarde zodat alle andere letters een natuurlijk getal voorstellen. Bij onze reactie kiezen we a=1. Zo bekomen we a=1; b=4; c=1; d=2; e=2.
  9. Nu vul je de coëfficiënten in, in je reactievergelijking. Als je het goed gedaan hebt, dan moeten er evenveel atomen van de ene soort aan de linkerkant en rechterkant staan. Bij onze reactie wordt dat  Cu+4HNO_{3}\rightarrow Cu(NO_{3})_{2}+2H_{2}O+2NO_{2}. Voor de controle zie foto.

IMG_6616

chemiejongen

Bindingshoek CH4

bond-angles-in-methaneOnlangs kreeg ik in de les chemie les over aardgas oftewel CH4. In ons boek stond een soortgelijke foto als rechts staat afgebeeld. Ik vroeg me af hoe ze de hoek (109,5°) berekenden tussen de twee H-atomen. Hieronder toon ik hoe ik het berekende, en omdat we in 3D berekeningen moeten maken heb ik een paar tekeningen gemaakt zodat het duidelijk zo blijven.

tetraeder

 

1) Gegeven:

  • tetraëder ABCD
  • \Delta BZM
  • M\in \left [ AB \right ]
  • \left | MB \right |=\frac{1}{2}\cdot \left | AB \right |
  • M\hat{B}Z=30^{\circ}

IMG_6609

cos30=\frac{\left | MZ \right |}{\left | BZ \right |}

\left |BZ \right |=\frac{\frac{\left | AB \right |}{2}}{cos30}

\left |BZ \right |=\frac{\left | AB \right |}{2\cdot cos30}

\left | BZ \right |=\frac{\sqrt{3}\cdot \left | AB \right |}{3}

2) Gegeven:

  • \Delta BZD
  • D\hat{Z}B=90^{\circ}
  • \Delta DEB is gelijkbenig => \delta =\beta _{1} \vee \left | DE \right |=\left | BE \right |

a) in \Delta BZD

\delta =\beta _{1}

\delta +\beta _{1}+\beta _{2}+90^{\circ}=180^{\circ}

\epsilon +\beta _{2}+90^{\circ}=180^{\circ}

\epsilon +\beta _{2}+90^{\circ}=\delta +\beta _{1}+\beta_{2}+90^{\circ}

\epsilon =\delta +\beta _{1}

\epsilon =2\cdot \delta

b) in \Delta BZD

IMG_6612

sin (\delta )=\frac{\left | BZ \right |}{\left | BD \right |}

sin(\delta )=\frac{\frac{\sqrt{3}\cdot \left | AB \right |}{3}}{\left | AB \right |}

sin (\delta )=\frac{\sqrt{3}}{3}

\delta =sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )

3) Gegeven:

  •  \Delta BZE
  • \epsilon =2\cdot \delta
  • B\hat{Z}E=90^{\circ}
  • \delta =sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )
  • \left | BZ \right |=\frac{\sqrt{3}\cdot \left | AB \right |}{3}

in \Delta BZE
IMG_6612

sin (\epsilon )=\frac{\left | BZ \right |}{\left | BE \right |}

<<<< \epsilon =2\cdot \delta >>>>
<<<< \delta =sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) >>>>

sin \left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )\right ]=\frac{\left | BZ \right |}{\left | BE \right |}

\left | BE \right |=\frac{\left | BZ \right |}{sin \left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )\right ]}

<<<< \left | BZ \right |=\frac{\sqrt{3}\cdot \left | AB \right |}{3} >>>>

\left | BE \right |=\frac{\sqrt{3}\left | AB \right |}{3\cdot sin \left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )\right ]}

4) Gegeven

  • \Delta BQE
  • B\hat{Q}E=90^{\circ}
  • 2\cdot \theta =\gamma
  • \left | BQ \right |=\frac{\left | AB \right |}{2}
  • \left | BE \right |=\frac{\sqrt{3}\left | AB \right |}{3\cdot sin\left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \right ]} 

in \Delta BQE

IMG_6612

sin(\theta)=\frac{\left | BQ \right |}{\left | BE \right |}

<<<< \left | BQ \right |=\frac{\left | AB \right |}{2} >>>>
<<<< \left | BE \right |=\frac{\sqrt{3}\left | AB \right |}{3\cdot sin\left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \right ]} >>>>

sin(\theta)=\frac{\frac{\left | AB \right |}{2}}{\frac{\sqrt{3}\left | AB \right |}{3\cdot sin \left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )\right ]}}

sin(\theta)=\frac{3\cdot sin\left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \right ]}{2\cdot \sqrt{3}}

sin(\theta)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot sin\left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \right ]

\theta=sin^{-1}\left ( \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot sin\left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \right ]\right )

<<<< \gamma =2\cdot \theta >>>>

\gamma =2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot sin\left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \right ]\right )

\gamma =109,47^{\circ}

\gamma =109,5^{\circ}

 Q.E.D.

\large wiskunde\in [jongen,+\infty [

Vraag JON gaswetten

Je hebt een gesloten buis met in de buis een beweegbare oppervlak. Tussen de onderkant van de buis en het beweegbare oppervlak heerst er de normaaldruk. Hoeveel water moet je in de buis op het beweegbaar oppervlak gieten zodat de ruimte tussen de onderkant van de buis en het beweegbare oppervlak met 10% verminderd wordt?

A: 1,14 m
B: hangt af van de oppervlakte van het beweegbare oppervlak
C: 0,50 m
D: 0,10 m

Gegeven: druk in de ruimte tussen oppervlak en onderkant zonder water op= 1013 hPa

Oplossing:We berekenen de druk in de ruimte tussen de oppervlak en onderkant met water.

p_{zonderwater}\cdot V_{1}=p_{metwater}\cdot \frac{9}{10}V_{1}

\frac{p_{zonderwater}\cdot V_{1}}{\frac{9}{10}V_{1}}=p_{metwater}

\frac{10}{9}\cdot p_{zonderwater}=p_{metwater}De druk van het water en de lucht boven het oppervlak moeten gelijk zijn:p_{0}+\frac{h\cdot A\cdot g\cdot \rho _{water}}{A}=\frac{10}{9}\cdot p_{zonderwater}
h\cdot A\cdot \rho \cdot g is de kracht die werkt op de bovenkant van het oppervlak.
Omdat p=\frac{F}{A} moet je de kracht delen door de oppervlakte van het oppervlak. Zo verdwijnt de A factor. De oppervlakte van het oppervlak (de diameter van de buis) doet er dus niet toe.

Vormen we deze formule om naar de hoogte, dan bekomen we:
h=\frac{\frac{10}{9}\cdot p_{zonderwater}-p_{0}}{g\cdot \rho _{water}}
In de opgave staat dat de druk ( p{zonder water})=p{0}. Dit wordt dus:
h=\frac{p_{0}}{9 \cdot g\cdot \rho _{water}}
Nu vullen we onze gegevens in.
h=\frac{101300Pa}{9\cdot 9,81 \frac{m}{s^{2}}\cdot 1000 \frac{kg}{m^{3}}}
h=1,14m

Antwoord a is dus juist. Helaas had ik deze vraag fout. Ik had te weinig tijd en gokte op antwoord b, want dat vond ik het meest waarschijnlijk. Maar gelukkig ben ik toch door naar de tweede ronde en tevens de laatste ronde van de Junior Olympiade van Natuurwetenschappen in Heverlee op 8 mei. Ik zit dus bij de beste tweehonderd van Vlaanderen!!! Duimen voor me.

\LARGE \sqrt[De]{\frac{F\gamma sic\aa }{j\phi n g\varepsilon n}}

 

 



Edit Fysica

closeup of a pencil eraser correcting an errorIn de vorige post over hoe je de snelheid van een auto kan berekenen als hij je voorbijrijdt, is er een foutje geslopen. Het deel over dat je je onnauwkeurigheid moet berekenen, heb ik iets vergeten. Ik zei dat je een onnauwkeurigheid van 0,1s hebt. Maar in werkelijkheid heb je een onnauwkeurigheid van 0,2s. Wanneer je de stopwatch de eerste keer indrukt is je onnauwkeurigheid 0,1s en wanneer je hem de tweede keer indrukt heb je weer een onnauwkeurigheid van 0,1s. Dat maakt samen 0,2s onnauwkeurig.

Ik reken nu de juiste onnauwkeurigheid uit met 0,2s meer.

v_{sportwagen}=\frac{100km/uur}{3,6}+\frac{3,2m}{0,72s}

v_{sportwagen}=27,8m/s+4,4m/s

v_{sportwagen}=32,2m/s

Ik reken nu de juiste onnauwkeurigheid uit met 0,2s minder.

v_{sportwagen}=\frac{100km/uur}{3,6}+\frac{3,2m}{0,32s}

v_{sportwagen}=27,8m/s+10m/s

v_{sportwagen}=38m/s

De sportwagen heeft dus een snelheid van 34,0m/s\mp 1,8-4.

Fysica

audi_r8_v10Ook fysica of natuurkunde hoeft niet saai en moeilijk zijn. Als je de logica achter fysica doorhebt, kan het je leven vergemakkelijken en leuker maken. Hoeveel keer per dag sta je niet stil en zeg je: “Dat is jammer dat ik dat niet weet en kan verklaren.”. Nee? Ik wel hoor, ik kom het dagelijks tegen. Een van die dingen waar ik altijd moet zeggen dat ik het niet weet, is het volgende. Stel, je rijdt op de autosnelweg op het middelste rijvak; niet te traag, niet te snel. Opeens steekt er een of ander sportwagen je auto voorbij. Je maakt je boos en zegt: “Hoeveel zou die wagen wel niet rijden?” Wel, met de fysica kunnen we zijn snelheid weten.

 

Wat moet je bij de hand hebben?

  • een stopwatch op een honderste van een seconde nauwkeurig
  • een meetlat
  • een rekenmachine

Voorbereiding:

  • meet de lengte van je auto zo nauwkeurig mogelijk
  • test je reactievermogen met de stopwatch*

Uitvoering:

  • rij op de middelste strook van de autosnelweg en wacht totdat er een sportwagen aankomt
  • als de sportwagen met zijn neus (voorkant) op dezelfde lijn is met de achterkant van je eigen auto, druk je de stopwatch in
  • je stopt de stopwatch als de neus van de sportwagen op dezelfde lijn is met de neus van je eigen auto
  • je steekt de resultaten in deze formule (∆x=lengte auto in meters; ∆t=tijd in seconden op je stopwatch; veigenauto=snelheid eigen auto; vsportwagen=snelheid sportwagen)

\large v_{sportwagen}=\frac{v_{eigenauto}}{3,6}+\frac{\Delta x}{\Delta t}

  • Voorbeeld: je rijdt met 100 km/uur met een 3,2 meter lange auto. De sportwagen rijdt je in 0,52 seconden voorbij. Dan wordt de formule:

\large v_{sportwagen}=\frac{100km/uur}{3,6}+\frac{3,2m}{0,52s}

  • Als we dat uitwerken (met de benaderingsregels), dan wordt dat:

\large v_{sportwagen}=27,8m/s+6,2m/s

\large v_{sportwagen}=34,0m/s

  • De meeste mensen stoppen nu maar we zijn nog niet klaar. Fysica is gelijk aan benaderen. Die sportwagen reed niet exact \small 34,0m/s. Ze reed iets meer of minder. Dit is de reden waarom je bij de voorbereiding je reactiesnelheid moest meten. Als je de stopwatch indrukt, dan ben je altijd iets te snel of te traag. Bij de meeste mensen is de reactiesnelheid 0,1 seconde. Je moet je onnauwkeurigheid ook berekenen. Je moet dus ook de snelheid met 0,62s en met 0,42s berekenen.
  • We houden geen rekening met de onnauwkeurigheid van de meting van de lengte van de auto. Dat hoeft ook niet want je hebt slechts een meting van 0,1m nodig.
  • Dan nog een tip: rij als je dit experiment uitvoert met een mooi rond getal (bv. 100km/uur of 85km/uur) als snelheid. Dan hoef je niet nodeloos extra berekeningen te doen.
  • Je berekent de snelheid met 0,1s meer.

\large v_{sportwagen}=\frac{100km/uur}{3,6}+\frac{3,2m}{0,62s}\large v_{sportwagen}=27,8m/s+5,2m/s\large v_{sportwagen}=33,0m/s

  • Je berekent de snelheid met 0,1s minder.

\large v_{sportwagen}=\frac{100km/uur}{3,6}+\frac{3,2m}{0,42s}\large v_{sportwagen}=27,8m/s+7,6m/s\large v_{sportwagen}=35,4m/s

  • De sportwagen heeft dus een snelheid van \small 34,0m/s\mp 1,0-1,4

Zo zie je maar, fysica hoeft niet moeilijk of saai te zijn. Het kan ook boeiend en leuk zijn.

De FysicaJongen

PS: als je de snelheid in km/uur wil weten, moet je de uitkomst maal 3,6 doen. Hou hierbij de benaderingsregels ook indachtig (3,6 heeft oneindig veel bepalende cijfers).

34,0m/s\cdot 3,6=122km/uur

Oppervlakteformule

De formule om de oppervlakte van een driehoek te berekenen aan de hand van de lengte van de drie zijden werd ontdekt door Heron. Daarom wordt het ook wel de formule van Heron genoemd. Hieronder zie je de formule. (a, b en c zijn de lengtes van de drie zijden.)
\LARGE O=\frac{1}{4}\sqrt{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )\left ( a+b-c \right )\left ( a+b+c \right )}

Op deze website kun je zien hoe hij aan de formule kwam: http://nl.wikipedia.org/wiki/Formule_van_Heron.

Wel, ik heb de formule anders afgeleid en zodoende dezelfde uitkomst verkregen.
Nu laat ik jullie zien hoe ik de formule afgeleid heb door middel van de stelling van Pythagoras en ontbinden in factoren.

Gegeven:

  • driehoek ABC
  • loodlijn d uit A op │BC│
  • │CS│= k
  • │BS│= a-k

Te bewijzen:
\LARGE O=\frac{1}{4}\sqrt{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )\left ( a+b-c \right )\left ( a+b+c \right )}

Bewijs:

1) in driehoek ACS:
volgens de stelling van Pythagoras

b^{2}=d^{2}+k^{2}

b^{2}-k^{2}=d^{2}

2) in driehoek ABS
volgens de stelling van Pythagoras

c^{2}=d^{2}+\left ( a-k \right )^{2}

c^{2}-\left ( a-k \right )^{2}=d^{2}

1) + 2)

c^{2}-\left ( a-k \right )^{2}=b^{2}-k^{2}

c^{2}-\left ( a^{2}-2ak+k^{2} \right )=b^{2}-k^{2}

c^{2}- a^{2}+2ak-k^{2}=b^{2}-k^{2}

c^{2}- a^{2}+2ak=b^{2}

2ak=b^{2}-c^{2}+a^{2}

k=\frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}

3) in driehoek ACS

b^{2}=d^{2}+k^{2}

d^{2}=b^{2}-\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right )^{2}

d=\sqrt{b^{2}-\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right )^{2}}

4) formule oppervlakte driehoek

O=\frac{b\cdot h}{2}
hoogte driehoek=d
O=\frac{b}{2}\sqrt{b^{2}-\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right )^{2}}
basis driehoek=a
O=\frac{a}{2}\sqrt{b^{2}-\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right )^{2}}

5) ontbinden in factoren

O=\frac{a}{2}\sqrt{b^{2}-\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right )^{2}}
verschil van twee kwadraten
O=\frac{a}{2}\sqrt{\left ( b-\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right ) \right )\left ( b+\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right ) \right )}
op dezelfde noemer zetten
O=\frac{a}{2}\sqrt{\left ( \frac{2ab-b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{2ab+b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right )}
twee kwadraten en een dubbel product
O=\frac{a}{2}\sqrt{\left ( \frac{-(a^{2}-2ab+b^{2})+c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}{2a}\right )}

O=\frac{a}{2}\sqrt{\left ( \frac{-(a-b)^{2}+c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{2a}\right )}
verschil van twee kwadraten
O=\frac{a}{2}\sqrt{\left ( \frac{\left ( c-(a-b) \right )\left ( c+(a-b) \right )}{2a} \right )\left ( \frac{(a+b-c)(a+b+c)}{2a}\right )}

O=\frac{a}{2}\sqrt{\left ( \frac{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )}{2a} \right )\left ( \frac{(a+b-c)(a+b+c)}{2a}\right )}

O=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )(a+b-c)(a+b+c)}{4a^{2}}}

O=\frac{a}{4a}\sqrt{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )(a+b-c)(a+b+c)}

O=\frac{1}{4}\sqrt{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )(a+b-c)(a+b+c)}

Q.E.D.

Chemie

Wetenschap, saai? Helemaal niet!

De komende dagen zal ik bewijzen dat wetenschappen helemaal niet saai hoeven te zijn. We beginnen met chemie. Ik hoor je al zuchten: “Chemie, wat is er daar nu leuk aan?”. Wel, een staaltje van mooier symmetrie en schoonheid zul je weliswaar nergens meer zien. De Tabel van Mendeljev, het Periodiek Stelsel der Elementen kortweg PSE, is zo’n staaltje van pure schoonheid. Voor een buitenstaander een lelijke tabel vol symbolen en afkortingen. Voor iemand die er vertrouwd mee is, een speeltuin vol wijsheid en informatie. Maar niet getreurd, Kaycie D. heeft het PSE voor iedereen toegankelijk gemaakt. Voor haar thesis maakte ze voor elk element een tekening die het element uitbeeld. Voor meer info: http://kaycie-kcd.blogspot.ca/search/label/senior%20thesis.

De ChemieJongen

PS: Klik op de eerste foto, dan wordt hij uitvergroot en kun je langs de andere scrollen.

Imaginary Decathlon & Astronomie

Wetenschap (alleen geschikt voor nerds)

Imaginary Decathlon 

Lieven Scheire laat ons de gebreken van het tienkamppuntensysteem zien. Hij ‘kraakt’ het puntensysteem door in de loopnummers (100m, 400m, 1500m en de 110m horden) minder snel te lopen dan de minimumtijd zodat zijn score imaginair wordt en hij meer dan 2000 punten per loopnummer kan scoren. De formule is \large a\left ( b-X \right )^{c} waarbij a,b,c elk een waarde voorstellen verschillend per discipline. Bij de 100m is a=25.4347 , b=18 (de minimumtijd) en c=1.81 .Door de minimumtijd min het resultaat tot een kommagetal te verheffen, wordt het resultaat imaginair, dus met factor i. Dus hoe trager hij loopt hoe meer punten hij behaalt. Laten we de proef op de som nemen: stel je loopt de 100m in 20 sec. Dan wordt de formule 25,4347\left ( 18-20 \right )^{1,81}=73-50i. En als je de 100m trager loopt bv. in 30 sec dan wordt de formule 25,4347\left ( 18-30 \right )^{1,81}=1889-1283i. Wil je je score zelf berekenen, klik dan hier, want met een gewone rekenmachine zal het niet lukken.

Hieronder staat de volledige lijst om je eigen tienkamp te berekenen ( voor de slimmeriken onder jullie: ‘valsspelen’ is enkel mogelijk in de loopnummers)

100 meter: 25,4347 x (18,00 – tijd in seconden)^1,81
Verspringen: 0,14354 x (afstand in centimeters – 220)^1,40
Kogelstoten: 51,39 x (afstand in meters– 1,50)^1,05
Hoogspringen: 0,8465 x (hoogte in centimeters – 75)^1,42
400 meter: 1,53775 x (82,00 – tijd in seconden)^1,81
110 meter horden: 5,74352 x (28,50 – tijd in seconden)^1,92
Discuswerpen: 12,91 x (afstand in meters – 4,00)^1,10
Polsstokspringen: 0,2797 x (hoogte in centimeters – 100)^1,35
Speerwerpen: 10,14 x (afstand in meters – 7,00)^1,08
1.500 meter: 0,03768 x (480,00 – tijd in seconden)^1,85

*=maal , ^x=tot de x-de macht

foto: Lieve Scheire

Beste tienkamp aller tijden 

Hoeveel punten zouden de wereldrecordhouders van de 100m, hoogspringen, 400m, 110m horden, discuswerpen, polsstokspringen, speerwerpen, 1500m, verspringen en kogelstoten samen hebben. We rekenen het even uit…

    • wereldrecordhouder van de 100m is Usain Bolt met 9.58 seconden dus 25.4347*(18-9.58)^1.81= 1202 punten
    • wereldrecordhouder van de 400m is Michael Johnson met 43.18 seconden dus 1.53775*(82-43.18)^1.81=1156 punten
    • wereldrecordhouder van de 1500m is Hicham El Guerrouj met 3.26,00 seconden dus 0.03768*(480-206)^1.85=1218 punten
    • wereldrecordhouder van de 110m horden is Aries Merritt met 12.80 seconden dus 5.74352*(28.50-12.80)^1.92=1135 punten
    • wereldrecordhouder in het hoogspringen is Javier Sotomayor met 2.45 meter dus 0.8465*(245-75)^1.42=1244 punten
    • wereldrecordhouder in het verspringen is Mike Powell met 8.94 meter dus 0,14354*(895-220)^1.40=1312 punten
    • wereldrecordhouder in het polsstokspringen is Sergej Boebka met 6.14 meter dus 0.2797*(614-100)^1.35=1277 punten
    • wereldrecordhouder in het speerwerpen is Jan Zelezny met 98.48 meter dus 10.14*(98.48-7)^1.08=1331 punten
    • wereldrecordhouder in het kogelstoten is Randey Barnes met 23.12 meter dus 51.39*(23.12-1.50)^1.05=1295 punten
    • wereldrecordhouder in het discuswerpen is Jürgen Schult met 74.08 meter dus 12.91*(74.08-4)^1.10=1383 punten

De eindscore van deze wereldrecordhouders is 12553 punten. Dat is 3514 punten meer dan het wereldrecord van Ashton Eaton die 9039 punten haalde. Er is dus nog altijd verbetering mogelijk. Maar er is iets opmerkelijks. Zoals u kunt zien krijg je gemiddeld meer punten bij de werpnummers (1336 punten), dan bij de springnummers (1261 punten) en bij de loopnummers (1177 punten). Dat kan als oorzaak hebben dat die wereldrecordhouders van de werpnummers zoveel beter zijn dan de wereldrecordhouders van de loop- en springnummers (volgens het systeem van de tienkamp). Maar dat is volgens mij niet de oorzaak omdat als Usain Bolt bv. evenveel punten wil halen als Jürgen Schult (1383 punten) dan moet hij de 100m in 8.91 seconden lopen. Dat is gewoon onmogelijk! En dan zou Javier Sotomayor maar liefst 13 cm hoger moeten springen. De fout zit hem gewoon in het systeem, ze kennen te veel punten toe aan de werpers en de springers in het nadeel van de lopers. Dus als tienkamper is het beter om de beste te zijn in de werpnummers dan de beste te zijn in de loopnummers.

Hier is de formule om te kijken hoe je moet presteren om een precies aantal punten te hebben bij de loopnummers.

Y=a\left ( b-X \right )^{c}

 \frac{Y}{a}=\left ( b-X \right )^{c}

 \sqrt[c]{\frac{Y}{a}}=b-X

 \sqrt[c]{\frac{Y}{a}}-b=-X

b-\sqrt[c]{\frac{Y}{a}}=X

          Y=aantal gewenste punten, a,b,c=waarden verschillend per discipline zie vorig artikel, X= het resultaat dat je minstens moet halen om het aantal gewenste punten Y te behalen

bv. ik wil minstens 1000 punten halen op de 100m (a=25.4347, b=18, c= 1.81, Y=1000, X=?)

18-\sqrt[1,81]{\frac{1000}{25,4347}}=10,40s

Hier is de formule om te kijken hoe je moet presteren om een precies aantal punten te hebben bij de werp- en springnummers.

b+\sqrt[c]{\frac{Y}{a}}=X

Y=aantal gewenste punten, a,b,c=waarden verschillend per discipline zie vorig artikel, X= het resultaat dat je minstens moet halen om het aantal gewenste punten Y te behalen

bv. ik wil minstens 1000 punten behalen bij het verspringen (a=0,14354, b=220, c=1.40, Y=1000, X=?)

220+\sqrt[1,40]{\frac{1000}{0,14354}}=7,75m

foto’s: 1ste foto: Ashton Eaton: wereldrecordhouder tienkamp

 

Astronomie

In dit artikel wil ik jullie iets bijleren over astronoomie. Maar voor we beginnen wil ik nog twee dingen zeggen. Ten eerste: astronomie is niet gelijk aan astrologie. Het zijn maar twee letters verschil, maar toch hebben ze een zeer verschillende betekenis. Astronomie is een exacte wetenschap ( een wetenschap gebaseerd op de theorieën en natuurwetten die gekenmerkt worden door wiskundige modellering, formele logica en experimentele toetsing), terwijl astrologie sterrenwichelarij is. In de astrologie denken ze dat het leven op aarde beïnvloed wordt door de stand van de sterren en planeten. Dat is pure onzin. En ten tweede: astronomie is eigenlijk de nobelste aller wetenschappen. Astronomie is het brandpunt van wiskunde, natuurkunde, scheikunde ( chemie), gewone en kwantummechanica, optica ( de leer van het licht), kernfysica en ook een beetje biologie. Als astronoom moet je dan ook op alle fronten thuis zijn. Je moet een manusje-van-alles zijn.

Als ik over alles wat de astronomie bestudeert iets zou moeten schrijven dan zou ik over tien jaar nog bezig zijn. Daarom zal ik de basis van de astronomie uitleggen. In de sterrenkunde of astronomie gebruiken ze enkele eenheden die we in het dagelijks leven niet gebruiken. Eén daarvan is de eenheid AE (Astronomische Eenheid). 1 AE is de afstand tussen de aarde en de zon: 150.000.000 km. Als ze deze eenheid niet zouden gebruiken, dan zouden ze met verschrikkelijk grote getallen moeten werken. Bv. de afstand tussen de zon en de dwergplaneet Pluto (officieel is Pluto geen planeet meer) is maar liefst 5.906.800.000 km, in AE is simpelweg 40 AE (39,4851 AE). Deze eenheid is in sommige gevallen ook niet echt praktisch. Om de afstand van de zon tot de dichtstbijzijnde ster (Proxima Centauri) te schrijven zou je veel te grote cijfers uitkomen. Daarom vonden de astronomen een andere eenheid uit, namelijk lichtjaar. Dat is de afstand die het licht in één jaar aflegt: 9.460.730.472.580.800 meter of 9.46 biljoen kilometer. Deze eenheid is veel praktischer bij zeer grote afstanden. De afstand van de zon tot Proxima Centauri is dan 4.22 lichtjaar.

Nu je dit weet, kan ik je meer vertellen over één specifieke planeet . Namelijk – de volgens mij fascinerendste planeet – Mars. Waarom is Mars nu zo interessant? Ten eerste valt deze planeet op door zijn opvallende rode kleur ( of okerkleurig, zo u wil). Daarom wordt hij ook de rode planeet genoemd. Ook heeft hij niet zoals de aarde 1 maan, maar 2 manen (Deimos en Phobos). De rode planeet is ook een stuk kleiner dan de aarde en is de vierde planeet vanaf de zon gezien. Daarnaast staat hij gemiddeld ook op ongeveer 227.000.000 km, net geen 2 AE, van de zon en is de gemiddelde temperatuur op Mars maar -63 graden Celsius.

Dat is allemaal wel interessant,maar wat Mars echt boeiend maakt, is de mogelijkheid van leven op deze planeet. Iedereen weet dat je water nodig hebt om leven te hebben en dat is net wat er op deze rode planeet aanwezig is. Niet water in de vloeibare vorm, maar in de bevroren vorm (door de gemiddelde temperatuur van -63 graden Celsius). Ook heb je om leven te hebben op een planeet een atmosfeer nodig, zoals de aarde er één heeft. Ook Mars heeft een atmosfeer (weliswaar een dunne, maar er is toch één aanwezig). Er is zelfs sprake van seizoenen op Mars. Er zijn vulkanen en gletsjers, bergen en dalen, en zelfs de rotatieperiode van Mars komt aardig overeen met wat we hier gewoon zijn: in precies 24 uur, 39 minuten en 35.244 seconden draait de planeet om haar as. Er is daarom best wel leven op deze planeet mogelijk. Daarom dat we ook direct aan Marsmannetjes denken en bv. niet aan Jupitermannetjes. Er bestaan duizenden verhalen van aliens en opmerkelijk is dat meer dan de helft van deze aliens zogezegd afkomstig zijn van Mars. Er zijn momenteel veel missies bezig op en rond Mars. Hieronder zie je een lijst van een paar missies die nog actief zijn op en rond Mars met bijkomende informatie.

        1. 2001 Mars Odyssey georganiseerd door Amerika (NASA) gelanceerd op 7 april 2001, aangekomen op Mars op 24 oktober 2001 met type satelliet
          → Deze missie toonde aan dat er grote hoeveelheden waterijs op Mars aanwezig is.
        2. Mars Express georganiseerd door de ESA (Europese Ruimtevaartorganisatie) gelanceerd op 2 juni 2003, aangekomen op Mars op 25 december 2003 met type satelliet
        3. Curiosity georganiseerd door Amerika (NASA) gelanceerd op 26 november 2011, aangekomen op Mars op 6 augustus 2012 met type marswagen.

Je kunt zien dat deze drie marsmissies er 230 tot 286 dagen over doen om van de aarde naar Mars te reizen. Het verschil tussen de duur van de reis van de ene satelliet en de ander is te wijten aan de afstand van de aarde tot Mars. Want de ene keer ligt Mars dichter bij aarde en de ander keer ligt hij verder. Het verschil kan zelfs oplopen tot 320 miljoen kilometer. Het wordt dan berekend wanneer Mars op zijn dichtst staat zodat je minder afstand moet overbruggen.

Volgende keer vertel ik jullie meer over de wiskunde achter dit alles. Over de berekening van de banen van de planeten en over hoe je kunt weten uit wat een planeet bestaat door naar het licht ervan te kijken. Pas op: alleen voor nerds.

foto’s: 1ste foto: Rennende Kipnevel (Kan jij de kip er in zien?)
2de foto: Adelaarsnevel
3de foto: De rode planeet met bovenaan een ijskap