in wiskundemarathon

Brahmagupta-Fibonacci-identiteit en Cauchy-Schwarz-ongelijkheid (wiskundemarathon #7)

Hey wiskundigen,

het is weer tijd voor een nieuwe post van de wiskundemarathon. Deze keer lossen we slechts 1 opgave op. We gebruiken de Brahmagupta-Fibonacci-identiteit (?) en de gekende Cauchy-Schwarz-ongelijkheid (zie vorige post). Maar voor we beginnen zal ik eerst de Brahmagupta-Fibonacci-identiteit uitleggen.

De Brahmagupta-Fibonacci-identiteit

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(bc+ad)^2+(ac-bd)^2

De afleiding van deze identiteit laten we aan de lezer over.

Nu we de Brahmagupta-Fibonacci-identiteit (oftewel de BF-identiteit) kennen, kunnen we de opgave oplossen. De opgave (in het Engels) gaat als volgt:Schermafbeelding (11)

We zoeken dus een zekere n zodat \frac{20bc+14bd+20ad-14ac}{a^2+b^2+c^2+d^2}\leq \sqrt{n}

Merk op dat: \frac{20bc+14bd+20ad-14ac}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\frac{10bc+7bd+10ad-7ac}{a^2+b^2}=\frac{10(bc+ad)+7(bd-ac)}{a^2+b^2}

Als we nu stellen dat p=bc+adq=bd-ac en  r=a^2+b^2 dan vinden we door de BF-identiteit: r^2=p^2+q^2.

Vullen we dit in in onze vorige vergelijking, dan vinden we:
\frac{10(bc+ad)+7(bd-ac)}{a^2+b^2}=\frac{10p+7q}{r}

Gebruiken we nu de Cauchy-Schwarz-ongelijkheid:
(10p+7q)^2\leq (p^2+q^2)(100+49)
We vonden al dat r^2=p^2+q^2 en als we dat in onze ongelijkheid invullen, bekomen we dat:
\frac{(10p+7q)^2}{r^2}\leq 149

\Leftrightarrow \frac{10p+7q}{r}\leq \sqrt{149}

We vinden dus dat n=149.

WiskundeJongen

Meer wiskundemarathonposts volgen!

Leave a Reply