Ongelijkheden en Arthur Engel (wiskundemarathon #8)

Gegroet wiskundige bollebozen,

een van de beste boeken over problem-solving is Problem-Solving Strategies (Arthur Engel). In dit boek staan zeer veel wiskundige problemen en oefeningen van gemiddeld tot moeilijk. In deze post maak ik opgave 45a en 45b (p.182) uit het hoofdstuk Ongelijkheden.

a) x,y,z>0: \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq\frac{y}{x} +\frac{z}{y}+\frac{x}{z}

Bewijs: w.l.o.g. stel dat a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}. Daaruit volgt dat  abc=1.

Nu moeten we bewijzen dat:
a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}
\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ab
\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2\geq 2ab+2bc+2ab
\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\geq 0
\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0
 \square

b) x,y,z>0: \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq\frac{x}{y} +\frac{y}{z}+\frac{z}{x}

Bewijs: w.l.o.g. stel dat a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}. Daaruit volgt dat  abc=1.

Nu moeten we bewijzen dat:
a^2+b^2+c^2 \geq a+b+c

We passen eerst QM-AM en daarna AM-HM toe op  \{a,b,c\}. Ook gebruiken we het feit dat  abc=1.

a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{(a+b+c)(a+b+c)}{3} \geq \frac{3\sqrt[3]{abc}(a+b+c)}{3}=a+b+c
 \square

WiskundeJongen

Appendix wiskundemarathon #5

Gegroet wiskundige wezens,

in deze post tonen we jullie een nieuwe manier om de vraag van wiskundemarathon #5 op te lossen:
wiskundemarathon deel 5 afbeelding

Eerst introduceren we een nieuwe functie:  \nu_p(n) is gelijk aan het aantal priemfactoren  p in de priemontbinding van  |n| met  n\in\mathbb{Z} .

Er geldt dat \nu_p(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor{\frac{n}{p^k}}\right\rfloor. We gaan deze formule in de volgende post bewijzen. Neem deze nu voorlopig gewoon aan of probeer hem zelf als oefening eens te bewijzen.

Nu zoeken we \nu _{2} \left(\frac{(2n)!}{n!}\right). Dit is gelijk aan \nu _{2} \left((2n)!\right) - \nu _{2} \left(n!\right).
Nu werken we uit:
\nu _{2} \left((2n)!\right) - \nu _{2} \left(n!\right)
 
=\sum_{k=1}^{\infty} \left \lfloor{\frac{2n}{2^k}}\right \rfloor - \sum_{k=1}^{\infty} \left \lfloor{\frac{n}{2^k}}\right \rfloor
 
=\sum_{k=1}^{\infty} \left ( \left \lfloor{\frac{n}{2^{k-1}}}\right \rfloor - \left\lfloor{\frac{n}{2^k}}\right\rfloor\right )
 
=n+\sum_{k=1}^{\infty} \left (\left\lfloor{\frac{n}{2^{k}}}\right \rfloor -\left\lfloor{\frac{n}{2^k}}\right\rfloor\right )=n
 \square
Analoog kunnen we bewijzen dat \nu _{p} \left(\frac{(pn)!}{n!}\right)=n

WiskundeJongen

Brahmagupta-Fibonacci-identiteit en Cauchy-Schwarz-ongelijkheid (wiskundemarathon #7)

Hey wiskundigen,

het is weer tijd voor een nieuwe post van de wiskundemarathon. Deze keer lossen we slechts 1 opgave op. We gebruiken de Brahmagupta-Fibonacci-identiteit (?) en de gekende Cauchy-Schwarz-ongelijkheid (zie vorige post). Maar voor we beginnen zal ik eerst de Brahmagupta-Fibonacci-identiteit uitleggen.

De Brahmagupta-Fibonacci-identiteit

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(bc+ad)^2+(ac-bd)^2

De afleiding van deze identiteit laten we aan de lezer over.

Nu we de Brahmagupta-Fibonacci-identiteit (oftewel de BF-identiteit) kennen, kunnen we de opgave oplossen. De opgave (in het Engels) gaat als volgt:Schermafbeelding (11)

We zoeken dus een zekere n zodat \frac{20bc+14bd+20ad-14ac}{a^2+b^2+c^2+d^2}\leq \sqrt{n}

Merk op dat: \frac{20bc+14bd+20ad-14ac}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\frac{10bc+7bd+10ad-7ac}{a^2+b^2}=\frac{10(bc+ad)+7(bd-ac)}{a^2+b^2}

Als we nu stellen dat p=bc+adq=bd-ac en  r=a^2+b^2 dan vinden we door de BF-identiteit: r^2=p^2+q^2.

Vullen we dit in in onze vorige vergelijking, dan vinden we:
\frac{10(bc+ad)+7(bd-ac)}{a^2+b^2}=\frac{10p+7q}{r}

Gebruiken we nu de Cauchy-Schwarz-ongelijkheid:
(10p+7q)^2\leq (p^2+q^2)(100+49)
We vonden al dat r^2=p^2+q^2 en als we dat in onze ongelijkheid invullen, bekomen we dat:
\frac{(10p+7q)^2}{r^2}\leq 149

\Leftrightarrow \frac{10p+7q}{r}\leq \sqrt{149}

We vinden dus dat n=149.

WiskundeJongen

Meer wiskundemarathonposts volgen!

Ongelijkheden (wiskundemarathon #6)

Hey wiskundige volbloeden,

een heel leuke tak van de wiskunde die nog niet aan bod is gekomen in de wiskundemarathon, zijn ongelijkheden. Er bestaan heel leuke technieken om moelijke ongelijkheden te bewijzen, maar nu bewijzen we een paar makkelijke oefeningen op om vertrouwd te geraken met de verschillende technieken. In volgende posts gaan we dan dieper in op de materie. We zullen de verschillende stellingen hier niet bewijzen, want dat zou ons te ver drijven.

Techniek 1: AM-GM (Arithmetic Mean-Geometric Mean)

 \forall x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{R}; x_1, x_2, ..., x_n \geq 0 :\frac{ x_1+ x_2+ ...+ x_n}{n} \geq \sqrt{ x_1 x_2 ...x_n}
Nu maken we een oefening op deze techniek. Ik vond deze opgave bij het oefenmateriaal van de Nederlandse IMO-training.
Schermafbeelding (8)
We vinden via AM-GM dat:  \frac{1+2+...+n}{n} \geq \sqrt[n]{n!}
We hebben al bewezen dat  \sum_{i=0}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2} (zie wiskundemarathon #4). Nu bekomen we:
 \frac{1+2+...+n}{n} \geq \sqrt[n]{n!}
\Leftrightarrow \frac{n+1}{2} \geq \sqrt[n]{n!}
\Leftrightarrow n+1 \geq 2\sqrt[n]{n!}
\Leftrightarrow (n+1)^n \geq 2^n n!
 \square

Dit is een techniek die veel toepassingen kent. In volgende posts zullen we enkele ingewikkeldere oefeningen maken. De volgende techniek is echter mijn favoriet.

Techniek 2: Cauchy-Schwarz

 \forall x_1,x_2,...,x_i,y_1,y_2,...,y_i \in \mathbb{R}:\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \leq \left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n y_i^2 \right)

Dit is een krachtige stelling en daardoor ook zeer populair bij problem-solving. We maken nu een oefening om aan te tonen hoe mooi en elegant deze techniek is. Deze oefening vond ik ook bij de Nederlandse training voor de IMO.Schermafbeelding (9)

Passen we Cauchy-Schwarz toe op  (x_1 , x_2 , x_3)= \left( \sqrt{1-\frac{1}{x}},\sqrt{1-\frac{1}{y}},\sqrt{1-\frac{1}{z}}\right) en  (y_1 , y_2 , y_3)= \left( \sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right) , dan vinden we:

\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\right)^2\leq\left(3-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\right)\left(x+y+z\right) \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\right)^2\leq x+y+z

\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\leq \sqrt{x+y+z}
\square

Als extraatje lossen we nog een finalevraag van de JWO op. De vraag komt uit de JWO-finale van een paar jaar geleden en we zullen die op 3 verschillende manieren oplossen.

1) Bewijs dat  a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc

Oplossing 1: We herschrijven de ongelijkheid tot:
a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geq 0
Nu vermenigvuldigen we beide leden met 2 en herschikken de ongelijkheid:
 2a^2+2b^2+2c^2 -2ab-2ac-2bc\geq 0
\Leftrightarrow(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\geq 0
\square

Oplossing 2: Nu gebruiken we Cauchy-Schwarz met  (x_1 , x_2 , x_3)= \left(a,b,c\right) en  (y_1 , y_2 , y_3)= \left( b,c,a\right) :
(ab+bc+ac)^2\leq\left(a^2+b^2+c^2\right)^2
\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2
\square

Oplossing 3: We lossen deze vraag ook op met een methode die we in de volgende ongelijkhedenpost zullen uitleggen en illustreren: de herschikkingsongelijkheid.

We stellen zonder verlies van algemeenheid dat a\geq b\geq c. Dan bekomen we:
a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc \geq 2ac+b^2
\square

We zien dat hoe complexer (deze zijn nog zeer eenvoudig) de techniek wordt, hoe krachtiger hij wordt. Volgende post zullen we nog enkele zeer handige technieken en stellingen introduceren en nog enkele vraagstukken maken.

WiskundeJongen

Krijg je maar niet genoeg van ongelijkheden? Hieronder vind je een paar documentjes en links waarmee je kunt oefenen.

http://studwww.ugent.be/~pwvdendr/ongelijkheden.pdf
http://www.win.tue.nl/~gpuite/lesbrief/training0809/mrt09ongelijkheden1.pdf
http://www.win.tue.nl/~gpuite/lesbrief/trainFokkoongelijk.pdf

http://sotseurm.files.wordpress.com/2012/08/pham-kim-hung-secrets-in-inequalities-volume-1.pdf

Getaltheorie met inductie (wiskundemarathon #5)

Hallo wiskundefreaks,

in korte vijfde deel van de wiskundemarathon los ik één opgave op van getaltheorie (ik vond deze vraag in de bundel getaltheorie van de Nederlandse training voor de International Mathematical Olympiad). De opgave luidt: wiskundemarathon deel 5 afbeelding
We definiëren de functie  p(n) als het aantal priemfactoren 2 in  (n+1)(n+2)...(2n) . Eerst observeren we enkele gevallen:
 p(1)=1
 p(2)=2
 p(5)=5
 p(13)=13

We krijgen het vermoeden dat \forall n\in \mathbb{N}: p(n)=n .
Nu gaan we dit bewijzen met onze welbekende techniek: volledige inductie (zie wiskundemarathon #4).

Inductiebasis: Voor  n=0 is het duidelijk dat  p(0)=0 .
Inductiestap: We stellen dat  (n+1)(n+2)...(2n)=2^n \cdot k met  k=2m+1  (m \in \mathbb{N}). Dit is gelijk aan stellen dat  p(n)=n .

Nu moeten we bewijzen dat  p(n+1)=n+1 :

 (n+2)(n+3)...(2n)(2n+1)(2n+2)
= (n+2)(n+3)...(2n)(2n+1)\cdot 2 \cdot (n+1)
 = 2\cdot 2^n\cdot k\cdot (2n+1)
 = 2^{n+1}\cdot k\cdot (2n+1)
\Rightarrow p(n+1)=n+1
 \square

WiskundeJongen

PS: Trouwe lezers zullen opgemerkt hebben dat ik mijn archaïsh “q.e.d.” heb ingewisseld door het modernere  \square om het einde van een bewijs aan te duiden. Dit symbool is indertijd voorgesteld door Paul Halmos.

Inductie (wiskundemarathon #4)

Gegroet wiskundige gelijkgezinden,

vandaag is het tijd voor deel 4 van onze wiskundemarathon. Vandaag lossen we enkele opgaves op met een speciale techniek, namelijk inductie. Op deze website vond ik deze definitie en werkwijze voor volledige inductie: volledige inductie

Nu we weten wat inductie precies is, maken we een paar opgaves lukraak geplukt uit het wiskundearsenaal. We beginnen met een paar gemakkelijke en gaan dan verder naar een paar minder gemakkelijke.

(Een klassieker)
1. Bewijs dat voor n\in \mathbb{N}, geldt dat \sum_{i=0}^{n}i =\frac{n(n+1)}{2}
Inductiebasis: We vinden dat dit geldt voor n=0 want 0=0
Inductiestap: We nemen aan dat \sum_{i=0}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}. Nu moeten we enkel nog bewijzen dat het ook voor n+1 geldt.
\sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{n(n+1)}{2}+n+1

<=> \sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{n^2+n+2n+2}{2}

<=> \sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{n(n+2)+(n+2)}{2}

<=> \sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{(n+1)(n+2)}{2}

q.e.d.

2. Bewijs dat voor  n,k\in \mathbb{N} (we definiëren  \mathbb{N}=\{ 1,2,3...\} ) geldt dat  3^{2n+1}+2^{n-1}=7k
Inductiebasis:  n=1 \Rightarrow 3^{3}+2^0=28=7\cdot 4
Inductiestap: Stel dat  3^{2n+1}+2^{n-1}=7k, dan moeten we enkel nog bewijzen dat  3^{2(n+1)+1}+2^{(n+1)-1}=7l met l\in \mathbb{N} .

 3^{2(n+1)+1}+2^{(n+1)-1}
 =3^{2n+3}+2^{n}
 =9\cdot 3^{2n+1}+2\cdot 2^{n-1}
 =2\cdot (3^{2n+1}+2^{n-1})+7\cdot 3^{2n+1}
 =14k+7\cdot 3^{2n+1}
 =7\cdot (2k+3^{2n+1})

q.e.d.

3. Bewijs dat voor  n\in \mathbb{N} en  n\geqslant 2 geldt dat:  n!-1 kan geschreven worden als de som van  n-1 delers van  n!
Inductiebasis: n=2 \Rightarrow 2!-1=1
Inductiestap:  a_1, a_2, a_3...a_{n-1} zijn delers van  n!
=>  n!-1=a_1+a_2+...+a_{n-1}

Na een beetje zoeken vinden we dat:  (n+1)!-1=(n+1)(a_1+a_2+...+a_{n-1})+n
Als we dit kunnen bewijzen, hebben we het gevraagde bewezen want bovenstaande is een som met n termen die allemaal delers van  (n+1)! zijn.

 (n+1)!-1=(n+1)(a_1+a_2+...+a_{n-1})+n
 \Leftrightarrow (n+1)!-1=(n+1)(n!-1)+n
\Leftrightarrow (n+1)!-1=n\cdot n!+n!-n-1+n
 \Leftrightarrow(n+1)!-1=(n+1)\cdot n! -1=(n+1)!-1

q.e.d.

4. Bewijs dat voor  n,k \in \mathbb{N} geldt:  4^n+15n-1=9k
(we definiëren  \mathbb{N}=\{ 1,2,3...\} )
Inductiebasis: voor  n=1 \Rightarrow 4+15-1=18=9\cdot 2
Inductiestap: We nemen aan dat  4^n+15n-1=9k. We moeten allen nog maar bewijzen dat dit ook voor n+1 geldt.

 4^{n+1}+15(n+1)-1
=4\cdot 4^n +15n +15-1
 = 9k+3\cdot 4^n +15
 = 9k+3\cdot (4^n+5)

Hier zitten we vast. We moeten nu kunnen bewijzen dat voor  n,m \in \mathbb{N} geldt dat   4^n+5=3m. We doen dit met inductie.
Inductiebasis:  n=1 \Rightarrow 4+5=3\cdot 3
Inductiestap: We stellen dat  4^n+5=3m. Nu bewijzen we dat  4^{n+1}+5=3p met  p\in \mathbb{N} .

 4^{n+1}+5
= 3p +3\cdot 4^n
= 3\cdot (p+4^n)

Als we dit invullen in ons vorig bewijs, vinden we:

 9k+3\cdot(4^n+5)
 = 9k+9\cdot (p+4^n)
 = 9\cdot (k+p+4^n)

q.e.d.

WiskundeJongen

wiskundemarathon #3

Hallo wiskundefreaks,

vandaag lossen we enkele finale- en 2de ronde-vragen van de Vlaamse Wiskunde Olympiade op. De eerste twee komen uit de 2de ronde van de VWO 2008-2009. Ze zijn niet zo moeilijk, maar we posten ze toch omdat we zo van rijen houden. We love it!
a) De eerste opgave is:

finalevraag25
1) We noemen S=\left ( 2+1 \right )\left ( 2^{2}+1 \right )\left ( 2^{4}+1 \right )...\left ( 2^{1024}+1 \right )+1

2) Deze vraag ziet er op het eerste gezicht zeer ingewikkeld uit, maar als we de vraag beter bestuderen zien we dat: S=(2+1)\left ( 2^{2}+1 \right )\left ( 2^{4}+1 \right )...\left ( 2^{1024}+1 \right )+1
<=> S=\left ( 1+2+2^{2}+2^{3} \right )\left ( 2^{4}+1 \right )...\left ( 2^{1024}+1 \right )+1
<=> S=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{k}+1

3) We zien dat er een meetkundige rij ontstaat. Alleen weten we k (nog) niet. We merken op dat:
k=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{10}
<=> 2k=2+2^{2}+2^{3}+...+2^{11}
<=> 2k-k=2^{11}-1
<=> k=2^{11}-1

4) Nu berekenen we S verder:
S=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{k}+1
<=> S-2=2+2^{2}+2^{3}+...+2^{k}
<=> 2\left ( S-2 \right )=2^{2}+2^{3}+...+2^{k+1}
<=> 2\left ( S-2 \right )-\left ( S-2 \right )=2^{k+1}-2
<=> S=2^{k+1}
<=> S=2^{2^{11}}
5) Tenslotte bepalen we de 1024-ste machtswortel van S.
\sqrt[1024]{S}=\sqrt[1024]{2^{2^{11}}}=\sqrt[1024]{\left ( 2^{2} \right )^{2^{10}}}=\sqrt[1024]{4^{1024}}=4

Het antwoord is dus (D) 4.

b) De tweede opgave gaat als volgt:
finalevraag26

1) Deze vraag kunnen we in een ruk oplossen:
22=\frac{3+4+5+...+\left ( n^{2}-3 \right )}{n^{2}}
<=> 22n^{2}=\left ( 1+2+3+...+\left ( n^{2}-3 \right ) \right )-3
<=> 22n^{2}=\frac{1}{2}\left ( n^{2}-3 \right )\left ( n^{2}-2 \right )-3
<=> 44n^{2}=\left ( n^{2}-3 \right )\left ( n^{2}-2 \right )-6
<=> 44n^{2}=n^{4}-3n^{2}-2n^{2}+6-6
<=> 44=n^{2}-5
<=> n=7
Het juiste antwoord is dus (A) 7.

c) De laatste vraag die we vandaag gaan oplossen is er een uit de finale van de JWO 2005-2006.
Deze gaat als volgt: finalevraag2005
1) We moeten dus aantonen dat K=\left ( 1+m \right )\left ( 1+\frac{m}{2} \right )...\left ( 1+\frac{m}{n} \right ) gelijk is aan

L=\left ( 1+n \right )\left ( 1+\frac{n}{2} \right )...\left ( 1+\frac{n}{m} \right ).

2) We bepalen eerst K:
K=\left ( 1+m \right )\left ( 1+\frac{m}{2} \right )...\left ( 1+\frac{m}{n} \right )

<=> K=\left ( 1+m \right )\left ( \frac{2+m}{2} \right )...\left ( \frac{n+m}{n} \right )

<=> K=\frac{\left ( m+1 \right )\left ( m+2 \right )...\left ( m+n \right )}{n!}

3) \left ( m+1 \right )\left ( m+2 \right )...\left ( m+n \right ) kunnen we ook schrijven als:

\frac{\left ( m+n \right )!}{m!}
Daaruit volgt dat K=\frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}
4) Nu bepalen we L.
L=\left ( 1+n \right )\left ( 1+\frac{n}{2} \right )...\left ( 1+\frac{n}{m} \right )

<=> L=\frac{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( m+n \right )}{m!}
5) Analoog als in 2 kunnen we \left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( m+n \right ) schrijven als \frac{\left ( m+n \right )!}{n!}
Daaruit volgt dat L=\frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}.
6) We hebben nu bewezen dat K=L want \frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}=\frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}

Nog wiskundemarathonartikels volgen…

WiskundeJongen

VWO finale 2005-2006 vraag 4 (wiskundemarathon #2)

Hallo wiskundefreaks,

vandaag los ik een finalevraag op van de finale van de Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006. Deze gaat als volgt:finale05
We zoeken dus alle  n\in \mathbb{N} waarvoor geldt:
n=k^{2}  en n+2005=l^{2} met k,l\in \mathbb{N}.

1) geg: n=k^{2}  en n+2005=l^{2} met k,l\in \mathbb{N}
opl: l^{2}-k^{2}=n+2005-n
<=> l^{2}-k^{2}=2005
<=> \left ( l-k \right )\left ( l+k \right )=2005

2) We vinden dat  \left ( l-k \right )\left ( l+k \right )=2005. Omdat l,k\in \mathbb{N}  kunnen we besluiten dat l-k en l+k delers zijn van 2005.

3) We vinden 2 mogelijkheden:
\left\{\begin{matrix}l-k=1\\l+k=2005 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} l-k=5\\l+k=401 \end{matrix}\right.

<=> \left\{\begin{matrix} k=1002\\l=1003 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} k=198\\l=203 \end{matrix}\right.

4) We vinden dus 2 oplossingen:  n=1002^{2}\vee n=198^{2}.
Wanneer we deze oplossingen controleren, vinden we: \sqrt{1002^{2}}+\sqrt{1002^{2}+2005}=\sqrt{1002^{2}}+\sqrt{1003^{2}}=2005 en \sqrt{198^{2}}+\sqrt{198^{2}+2005}=\sqrt{198^{2}}+\sqrt{203^{2}}=401.

Q.E.D.

WiskundeJongen

PS: in een volgende post ga ik hier dieper op in.

JWO finale 2006-2007 vraag 1 (wiskundemarathon #1)

Hallo wiskundefreaks,

vandaag ga ik de eerste finalevraag van de Junior Wiskunde Olympiade (editie 2006-2007) maken. Deze gaat als volgt:finalej07

1) Eerst berekenen we het hoogste getal van de n-de rij (G_{n}). Je ziet direct dat dit gelijk is aan:
G_{n}=1+2+3+...+(n-1)+n
<=> G_{n}=\frac{n(n+1)}{2}

2) Nu berekenen we het kleinste getal (K_{n}) van de n-de rij. Dit is 1 meer dan het hoogste getal van de (n-1)-de rij:
K_{n}=G_{n-1}+1
<=> K_{n}=\frac{n(n-1)}{2}+1

3) Ten slotte berekenen we de som van de n-de rij (S_{n}):
S_{n}=K_{n}+\left ( K_{n}+1 \right )+...+\left ( G_{n}-1 \right )+G_{n}

<=> S_{n}=K_{n}\left ( G_{n}-K_{n}+1 \right )+1+2+3+...+G_{n}

<=> S_{n}=K_{n}\left ( G_{n}-K_{n}+1 \right )+\frac{\left ( G_{n}-K_{n} \right )\left ( G_{n}-K_{n}+1 \right )}{2}

<=> S_{n}=\left ( K_{n}-G_{n}+1 \right )\left ( K_{n}+\frac{G_{n}-K_{n}}{2} \right )

<=> S_{n}=\left ( K_{n}-G_{n}+1 \right )\left ( \frac{K_{n}+G_{n}}{2} \right )

<=> S_{n}=\frac{1}{2}\left ( \frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n-1)}{2}-1+1 \right )\left ( \frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}+1 \right )

<=> S_{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n(n+1-n+1)}{2}\cdot \frac{n(n+1+n-1)+2}{2}

<=> S_{n}=\frac{1}{2}\cdot n \cdot (n^{2}+1)

<=> S_{n}=\frac{n^{3}+n}{2}

4) Nu berekenen we de som van de 100ste rij:

S_{100}=\frac{100^{3}+100}{2}=500050

EXTRA: zoek alle n waarvoor S_{n} priem is

1) We onderzoeken eerst alle even n.
Als n even is, is  \frac{n}{2}  een natuurlijk getal en dus deler van S_{n}.
De definitie van een priemgetal zegt ons dat een natuurlijk getal (groter dan 1) priem is als en slechts als het getal precies 2 delers heeft, namelijk 1 en zichzelf. Afgaande de definitie moet, als S_{n} priem is,  n^{2}+1 of \frac{n}{2} gelijk zijn aan 1.
=> n=2 \vee n=0 zodat S_{n}=5 \vee S_{n}=0 ( S_{n}=0 valt weg, want S_{n} is niet gedefiniëerd voor S_{n}=0.

We vinden dus 1 opl. namelijk S_{n}=5 met n=2

2) Nu onderzoeken we alle oneven n.
Als n oneven is dan is \frac{n^{2}+1}{2} een natuurlijk getal en dus een deler van S_{n}.
Afgaande de dfinitie van een priemgetal moet n of \frac{n^{2}+1}{2} gelijk zijn aan 1.
=> n=1\vee n=1 zodat S_{n}=1 (deze opl. valt weg want 1 is geen priemgetal)

3) We vinden één opl. namelijk S_{n}=5 met n=2

WiskundeJongen

Afgeleide van Hogere Orde

Hallo wiskundefreaks,

deze post gaat over hogere afgeleiden, specifiek deze afgeleide: D^{n}x^{n}=n!. We zullen deze afgeleide bewijzen via inductie. Er zijn dus drie stappen: we bewijzen deze formule voor n=1, voor n en voor n+1.

1) We bewijzen deze formule voor n=1.
\large Dx=\lim_{a\rightarrow x}\frac{x-a}{x-a}=1=1!

2) Nu bewijzen we de formule voor n. We gaan ervan uit dat dit waar is.

\large D^{n}x^{n}=n!

3) Als we nu kunnen bewijzen dat deze eigenschap geldt voor n+1 hebben we het bewezen.

\large D^{n+1}x^{n+1}=D^{n}\left ( Dx^{n+1} \right )   

#\fn_cs Dx^{n+1}=(n+1)\cdot x^{n}

\large D^{n+1}x^{n+1}=D^{n}\left ( (n+1)\cdot x^{n}\right)

#\fn_cs D(f\cdot g)=Df\cdot g+f\cdot Dg

\large D^{n+1}x^{n+1}=\left ( D^{n}x^{n} \right )\cdot \left ( n+1 \right )+\left ( D^{n}n+1 \right )\cdot x^{n} 

#\fn_cs D^{n}x^{n}=n!

\large D^{n+1}x^{n+1}=n!\cdot (n+1)+\left ( D^{n}n+1 \right )\cdot x^{n}  

#\fn_cs C\in\mathbb{R}\Rightarrow D(C)=0

\large D^{n+1}x^{n+1}=\left ( n+1 \right )!+0\cdot x^{n}

\large D^{n+1}x^{n+1}=\left ( n+1 \right )!

Q.E.D.

WiskundeJongen

Koch-sneeuwvlok

koch snowflake

 

Hallo wiskundenerds,

in deze post zal ik het hebben over de Koch-sneeuwvlok. Deze sneeuwvlok ontstaat door op een gelijkzijdige driehoek telkens volgende stappen te ondernemen (zie foto onder). Op de foto zie wat we telkens doen met een zijde van de driehoek.
Koch_curve_(L-system_construction)

Dit is allemaal wel mooi, maar wat mij interesseert is wat de oppervlakte van deze Koch-sneeuwvlok is. Laten we het onderzoeken.

fractalkochflakeWe stellen de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek gelijk aan A_{1}. We zullen nu de oppervlakte bepalen per stap. Stap 1 a_{1} (= foto linksboven) is de gelijkzijdige driehoek alleen.

\large a_{1}=A_{1}

Stap 2 a_{2}= foto rechtsboven. De oppervlakte van de kleine driehoekjes zijn 9 keer kleiner dan de oppervlakte van de grote driehoek.

\large a_{2}=A_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}

Stap 3 a_{3}= foto linksonder. De kleinste driehoekjes zijn 81 maal kleiner dan de grote driehoek.

\large a_{3}=A_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}

Stap 4 a_{4} = foto rechtsonder. De kleinste driehoekjes zijn 729 maal kleiner dan de grote driehoek.

\large a_{4}=1_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}

Nu zoeken we de oppervlakte van de Koch-sneeuwvlok bij de n-de stap a_{n}.

\large a_{n}=A_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}+...+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-2}}{3^{2n-2}}

\large a_{n}-A_{1}=\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}+...+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-2}}{3^{2n-2}}

\large \left ( a_{n}-A_{1}\right )\cdot \frac{4}{3^{2}}=\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}+...+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-1}}{3^{2n}}

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )-\left ( a_{n}-A_{1}\right )\cdot \frac{4}{3^{2}}=\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}-\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-1}}{3^{2n}}

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )\cdot \left ( 1-\frac{4}{3^{2}} \right )=A_{1}\left ( \frac{1}{3}-\frac{3\cdot 4^{n-1}}{3^{2n}} \right )

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )\cdot \frac{5}{9}=A_{1}\left ( \frac{1}{3}-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-1}} \right )

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )\cdot \frac{5}{9}=\frac{A_{1}}{3}\cdot \left ( 1-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-2}} \right )

\large a_{n}-A_{1} =\frac{A_{1}\cdot 3}{5}\cdot \left ( 1-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-2}} \right )

\large a_{n}=A_{1}+\frac{A_{1}\cdot 3}{5}\cdot \left ( 1-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-2}} \right )

\large a_{n}=A_{1}\cdot \left ( 1+\frac{3}{5}-\frac{ 4^{n-1}\cdot 3}{3^{2n-2}\cdot 5} \right )

\large a_{n}=A_{1}\cdot \left ( \frac{8}{5}-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-3}\cdot 5} \right )

\large a_{n}=\frac{4\cdot A_{1}}{5}\cdot \left ( 2-\frac{ 4^{n-2}}{3^{2n-3}} \right )

We hebben nu een formule om de oppervlakte te berekenen na de n-de stap. De vraag is nu: wat is de oppervlakte na oneindig veel stappen? We bekijken de term b_{n}=\frac{4^{n-2}}{3^{2n-3}}van naderbij.

Als n=1, dan is \large b_{1}=\frac{4^{1-2}}{3^{2\cdot 1-3}}=0,75

als n=2, dan is \large b_{2}=\frac{4^{2-2}}{3^{2\cdot 2-3}}=0,33...

als n=3, dan is \large b_{3}=\frac{4^{3-2}}{3^{2\cdot 3-3}}=0,148148...

We kunnen besluiten dat b_{1}> b_{2}> b_{3}> ... waaruit volgt dat \large \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=0.
Daaruit volgt dat \large a_{n}=\frac{8}{5}A_{1} bij \large n=\infty.
Als we dus oneindig veel stappen ondernemen, is de oppervlakte gelijk aan \large \frac{8}{5}A_{1}.

LEVE DE WISKUNDE!!!

WiskundeJongen

 

 

Bindingshoek CH4

bond-angles-in-methaneOnlangs kreeg ik in de les chemie les over aardgas oftewel CH4. In ons boek stond een soortgelijke foto als rechts staat afgebeeld. Ik vroeg me af hoe ze de hoek (109,5°) berekenden tussen de twee H-atomen. Hieronder toon ik hoe ik het berekende, en omdat we in 3D berekeningen moeten maken heb ik een paar tekeningen gemaakt zodat het duidelijk zo blijven.

tetraeder

 

1) Gegeven:

  • tetraëder ABCD
  • \Delta BZM
  • M\in \left [ AB \right ]
  • \left | MB \right |=\frac{1}{2}\cdot \left | AB \right |
  • M\hat{B}Z=30^{\circ}

IMG_6609

cos30=\frac{\left | MZ \right |}{\left | BZ \right |}

\left |BZ \right |=\frac{\frac{\left | AB \right |}{2}}{cos30}

\left |BZ \right |=\frac{\left | AB \right |}{2\cdot cos30}

\left | BZ \right |=\frac{\sqrt{3}\cdot \left | AB \right |}{3}

2) Gegeven:

  • \Delta BZD
  • D\hat{Z}B=90^{\circ}
  • \Delta DEB is gelijkbenig => \delta =\beta _{1} \vee \left | DE \right |=\left | BE \right |

a) in \Delta BZD

\delta =\beta _{1}

\delta +\beta _{1}+\beta _{2}+90^{\circ}=180^{\circ}

\epsilon +\beta _{2}+90^{\circ}=180^{\circ}

\epsilon +\beta _{2}+90^{\circ}=\delta +\beta _{1}+\beta_{2}+90^{\circ}

\epsilon =\delta +\beta _{1}

\epsilon =2\cdot \delta

b) in \Delta BZD

IMG_6612

sin (\delta )=\frac{\left | BZ \right |}{\left | BD \right |}

sin(\delta )=\frac{\frac{\sqrt{3}\cdot \left | AB \right |}{3}}{\left | AB \right |}

sin (\delta )=\frac{\sqrt{3}}{3}

\delta =sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )

3) Gegeven:

  •  \Delta BZE
  • \epsilon =2\cdot \delta
  • B\hat{Z}E=90^{\circ}
  • \delta =sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )
  • \left | BZ \right |=\frac{\sqrt{3}\cdot \left | AB \right |}{3}

in \Delta BZE
IMG_6612

sin (\epsilon )=\frac{\left | BZ \right |}{\left | BE \right |}

<<<< \epsilon =2\cdot \delta >>>>
<<<< \delta =sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) >>>>

sin \left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )\right ]=\frac{\left | BZ \right |}{\left | BE \right |}

\left | BE \right |=\frac{\left | BZ \right |}{sin \left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )\right ]}

<<<< \left | BZ \right |=\frac{\sqrt{3}\cdot \left | AB \right |}{3} >>>>

\left | BE \right |=\frac{\sqrt{3}\left | AB \right |}{3\cdot sin \left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )\right ]}

4) Gegeven

  • \Delta BQE
  • B\hat{Q}E=90^{\circ}
  • 2\cdot \theta =\gamma
  • \left | BQ \right |=\frac{\left | AB \right |}{2}
  • \left | BE \right |=\frac{\sqrt{3}\left | AB \right |}{3\cdot sin\left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \right ]} 

in \Delta BQE

IMG_6612

sin(\theta)=\frac{\left | BQ \right |}{\left | BE \right |}

<<<< \left | BQ \right |=\frac{\left | AB \right |}{2} >>>>
<<<< \left | BE \right |=\frac{\sqrt{3}\left | AB \right |}{3\cdot sin\left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \right ]} >>>>

sin(\theta)=\frac{\frac{\left | AB \right |}{2}}{\frac{\sqrt{3}\left | AB \right |}{3\cdot sin \left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )\right ]}}

sin(\theta)=\frac{3\cdot sin\left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \right ]}{2\cdot \sqrt{3}}

sin(\theta)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot sin\left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \right ]

\theta=sin^{-1}\left ( \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot sin\left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \right ]\right )

<<<< \gamma =2\cdot \theta >>>>

\gamma =2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot sin\left [ 2\cdot sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \right ]\right )

\gamma =109,47^{\circ}

\gamma =109,5^{\circ}

 Q.E.D.

\large wiskunde\in [jongen,+\infty [

Oppervlakteformule

De formule om de oppervlakte van een driehoek te berekenen aan de hand van de lengte van de drie zijden werd ontdekt door Heron. Daarom wordt het ook wel de formule van Heron genoemd. Hieronder zie je de formule. (a, b en c zijn de lengtes van de drie zijden.)
\LARGE O=\frac{1}{4}\sqrt{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )\left ( a+b-c \right )\left ( a+b+c \right )}

Op deze website kun je zien hoe hij aan de formule kwam: http://nl.wikipedia.org/wiki/Formule_van_Heron.

Wel, ik heb de formule anders afgeleid en zodoende dezelfde uitkomst verkregen.
Nu laat ik jullie zien hoe ik de formule afgeleid heb door middel van de stelling van Pythagoras en ontbinden in factoren.

Gegeven:

  • driehoek ABC
  • loodlijn d uit A op │BC│
  • │CS│= k
  • │BS│= a-k

Te bewijzen:
\LARGE O=\frac{1}{4}\sqrt{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )\left ( a+b-c \right )\left ( a+b+c \right )}

Bewijs:

1) in driehoek ACS:
volgens de stelling van Pythagoras

b^{2}=d^{2}+k^{2}

b^{2}-k^{2}=d^{2}

2) in driehoek ABS
volgens de stelling van Pythagoras

c^{2}=d^{2}+\left ( a-k \right )^{2}

c^{2}-\left ( a-k \right )^{2}=d^{2}

1) + 2)

c^{2}-\left ( a-k \right )^{2}=b^{2}-k^{2}

c^{2}-\left ( a^{2}-2ak+k^{2} \right )=b^{2}-k^{2}

c^{2}- a^{2}+2ak-k^{2}=b^{2}-k^{2}

c^{2}- a^{2}+2ak=b^{2}

2ak=b^{2}-c^{2}+a^{2}

k=\frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}

3) in driehoek ACS

b^{2}=d^{2}+k^{2}

d^{2}=b^{2}-\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right )^{2}

d=\sqrt{b^{2}-\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right )^{2}}

4) formule oppervlakte driehoek

O=\frac{b\cdot h}{2}
hoogte driehoek=d
O=\frac{b}{2}\sqrt{b^{2}-\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right )^{2}}
basis driehoek=a
O=\frac{a}{2}\sqrt{b^{2}-\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right )^{2}}

5) ontbinden in factoren

O=\frac{a}{2}\sqrt{b^{2}-\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right )^{2}}
verschil van twee kwadraten
O=\frac{a}{2}\sqrt{\left ( b-\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right ) \right )\left ( b+\left ( \frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right ) \right )}
op dezelfde noemer zetten
O=\frac{a}{2}\sqrt{\left ( \frac{2ab-b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{2ab+b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}\right )}
twee kwadraten en een dubbel product
O=\frac{a}{2}\sqrt{\left ( \frac{-(a^{2}-2ab+b^{2})+c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}{2a}\right )}

O=\frac{a}{2}\sqrt{\left ( \frac{-(a-b)^{2}+c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{2a}\right )}
verschil van twee kwadraten
O=\frac{a}{2}\sqrt{\left ( \frac{\left ( c-(a-b) \right )\left ( c+(a-b) \right )}{2a} \right )\left ( \frac{(a+b-c)(a+b+c)}{2a}\right )}

O=\frac{a}{2}\sqrt{\left ( \frac{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )}{2a} \right )\left ( \frac{(a+b-c)(a+b+c)}{2a}\right )}

O=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )(a+b-c)(a+b+c)}{4a^{2}}}

O=\frac{a}{4a}\sqrt{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )(a+b-c)(a+b+c)}

O=\frac{1}{4}\sqrt{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )(a+b-c)(a+b+c)}

Q.E.D.

Imaginary Decathlon & Astronomie

Wetenschap (alleen geschikt voor nerds)

Imaginary Decathlon 

Lieven Scheire laat ons de gebreken van het tienkamppuntensysteem zien. Hij ‘kraakt’ het puntensysteem door in de loopnummers (100m, 400m, 1500m en de 110m horden) minder snel te lopen dan de minimumtijd zodat zijn score imaginair wordt en hij meer dan 2000 punten per loopnummer kan scoren. De formule is \large a\left ( b-X \right )^{c} waarbij a,b,c elk een waarde voorstellen verschillend per discipline. Bij de 100m is a=25.4347 , b=18 (de minimumtijd) en c=1.81 .Door de minimumtijd min het resultaat tot een kommagetal te verheffen, wordt het resultaat imaginair, dus met factor i. Dus hoe trager hij loopt hoe meer punten hij behaalt. Laten we de proef op de som nemen: stel je loopt de 100m in 20 sec. Dan wordt de formule 25,4347\left ( 18-20 \right )^{1,81}=73-50i. En als je de 100m trager loopt bv. in 30 sec dan wordt de formule 25,4347\left ( 18-30 \right )^{1,81}=1889-1283i. Wil je je score zelf berekenen, klik dan hier, want met een gewone rekenmachine zal het niet lukken.

Hieronder staat de volledige lijst om je eigen tienkamp te berekenen ( voor de slimmeriken onder jullie: ‘valsspelen’ is enkel mogelijk in de loopnummers)

100 meter: 25,4347 x (18,00 – tijd in seconden)^1,81
Verspringen: 0,14354 x (afstand in centimeters – 220)^1,40
Kogelstoten: 51,39 x (afstand in meters– 1,50)^1,05
Hoogspringen: 0,8465 x (hoogte in centimeters – 75)^1,42
400 meter: 1,53775 x (82,00 – tijd in seconden)^1,81
110 meter horden: 5,74352 x (28,50 – tijd in seconden)^1,92
Discuswerpen: 12,91 x (afstand in meters – 4,00)^1,10
Polsstokspringen: 0,2797 x (hoogte in centimeters – 100)^1,35
Speerwerpen: 10,14 x (afstand in meters – 7,00)^1,08
1.500 meter: 0,03768 x (480,00 – tijd in seconden)^1,85

*=maal , ^x=tot de x-de macht

foto: Lieve Scheire

Beste tienkamp aller tijden 

Hoeveel punten zouden de wereldrecordhouders van de 100m, hoogspringen, 400m, 110m horden, discuswerpen, polsstokspringen, speerwerpen, 1500m, verspringen en kogelstoten samen hebben. We rekenen het even uit…

    • wereldrecordhouder van de 100m is Usain Bolt met 9.58 seconden dus 25.4347*(18-9.58)^1.81= 1202 punten
    • wereldrecordhouder van de 400m is Michael Johnson met 43.18 seconden dus 1.53775*(82-43.18)^1.81=1156 punten
    • wereldrecordhouder van de 1500m is Hicham El Guerrouj met 3.26,00 seconden dus 0.03768*(480-206)^1.85=1218 punten
    • wereldrecordhouder van de 110m horden is Aries Merritt met 12.80 seconden dus 5.74352*(28.50-12.80)^1.92=1135 punten
    • wereldrecordhouder in het hoogspringen is Javier Sotomayor met 2.45 meter dus 0.8465*(245-75)^1.42=1244 punten
    • wereldrecordhouder in het verspringen is Mike Powell met 8.94 meter dus 0,14354*(895-220)^1.40=1312 punten
    • wereldrecordhouder in het polsstokspringen is Sergej Boebka met 6.14 meter dus 0.2797*(614-100)^1.35=1277 punten
    • wereldrecordhouder in het speerwerpen is Jan Zelezny met 98.48 meter dus 10.14*(98.48-7)^1.08=1331 punten
    • wereldrecordhouder in het kogelstoten is Randey Barnes met 23.12 meter dus 51.39*(23.12-1.50)^1.05=1295 punten
    • wereldrecordhouder in het discuswerpen is Jürgen Schult met 74.08 meter dus 12.91*(74.08-4)^1.10=1383 punten

De eindscore van deze wereldrecordhouders is 12553 punten. Dat is 3514 punten meer dan het wereldrecord van Ashton Eaton die 9039 punten haalde. Er is dus nog altijd verbetering mogelijk. Maar er is iets opmerkelijks. Zoals u kunt zien krijg je gemiddeld meer punten bij de werpnummers (1336 punten), dan bij de springnummers (1261 punten) en bij de loopnummers (1177 punten). Dat kan als oorzaak hebben dat die wereldrecordhouders van de werpnummers zoveel beter zijn dan de wereldrecordhouders van de loop- en springnummers (volgens het systeem van de tienkamp). Maar dat is volgens mij niet de oorzaak omdat als Usain Bolt bv. evenveel punten wil halen als Jürgen Schult (1383 punten) dan moet hij de 100m in 8.91 seconden lopen. Dat is gewoon onmogelijk! En dan zou Javier Sotomayor maar liefst 13 cm hoger moeten springen. De fout zit hem gewoon in het systeem, ze kennen te veel punten toe aan de werpers en de springers in het nadeel van de lopers. Dus als tienkamper is het beter om de beste te zijn in de werpnummers dan de beste te zijn in de loopnummers.

Hier is de formule om te kijken hoe je moet presteren om een precies aantal punten te hebben bij de loopnummers.

Y=a\left ( b-X \right )^{c}

 \frac{Y}{a}=\left ( b-X \right )^{c}

 \sqrt[c]{\frac{Y}{a}}=b-X

 \sqrt[c]{\frac{Y}{a}}-b=-X

b-\sqrt[c]{\frac{Y}{a}}=X

          Y=aantal gewenste punten, a,b,c=waarden verschillend per discipline zie vorig artikel, X= het resultaat dat je minstens moet halen om het aantal gewenste punten Y te behalen

bv. ik wil minstens 1000 punten halen op de 100m (a=25.4347, b=18, c= 1.81, Y=1000, X=?)

18-\sqrt[1,81]{\frac{1000}{25,4347}}=10,40s

Hier is de formule om te kijken hoe je moet presteren om een precies aantal punten te hebben bij de werp- en springnummers.

b+\sqrt[c]{\frac{Y}{a}}=X

Y=aantal gewenste punten, a,b,c=waarden verschillend per discipline zie vorig artikel, X= het resultaat dat je minstens moet halen om het aantal gewenste punten Y te behalen

bv. ik wil minstens 1000 punten behalen bij het verspringen (a=0,14354, b=220, c=1.40, Y=1000, X=?)

220+\sqrt[1,40]{\frac{1000}{0,14354}}=7,75m

foto’s: 1ste foto: Ashton Eaton: wereldrecordhouder tienkamp

 

Astronomie

In dit artikel wil ik jullie iets bijleren over astronoomie. Maar voor we beginnen wil ik nog twee dingen zeggen. Ten eerste: astronomie is niet gelijk aan astrologie. Het zijn maar twee letters verschil, maar toch hebben ze een zeer verschillende betekenis. Astronomie is een exacte wetenschap ( een wetenschap gebaseerd op de theorieën en natuurwetten die gekenmerkt worden door wiskundige modellering, formele logica en experimentele toetsing), terwijl astrologie sterrenwichelarij is. In de astrologie denken ze dat het leven op aarde beïnvloed wordt door de stand van de sterren en planeten. Dat is pure onzin. En ten tweede: astronomie is eigenlijk de nobelste aller wetenschappen. Astronomie is het brandpunt van wiskunde, natuurkunde, scheikunde ( chemie), gewone en kwantummechanica, optica ( de leer van het licht), kernfysica en ook een beetje biologie. Als astronoom moet je dan ook op alle fronten thuis zijn. Je moet een manusje-van-alles zijn.

Als ik over alles wat de astronomie bestudeert iets zou moeten schrijven dan zou ik over tien jaar nog bezig zijn. Daarom zal ik de basis van de astronomie uitleggen. In de sterrenkunde of astronomie gebruiken ze enkele eenheden die we in het dagelijks leven niet gebruiken. Eén daarvan is de eenheid AE (Astronomische Eenheid). 1 AE is de afstand tussen de aarde en de zon: 150.000.000 km. Als ze deze eenheid niet zouden gebruiken, dan zouden ze met verschrikkelijk grote getallen moeten werken. Bv. de afstand tussen de zon en de dwergplaneet Pluto (officieel is Pluto geen planeet meer) is maar liefst 5.906.800.000 km, in AE is simpelweg 40 AE (39,4851 AE). Deze eenheid is in sommige gevallen ook niet echt praktisch. Om de afstand van de zon tot de dichtstbijzijnde ster (Proxima Centauri) te schrijven zou je veel te grote cijfers uitkomen. Daarom vonden de astronomen een andere eenheid uit, namelijk lichtjaar. Dat is de afstand die het licht in één jaar aflegt: 9.460.730.472.580.800 meter of 9.46 biljoen kilometer. Deze eenheid is veel praktischer bij zeer grote afstanden. De afstand van de zon tot Proxima Centauri is dan 4.22 lichtjaar.

Nu je dit weet, kan ik je meer vertellen over één specifieke planeet . Namelijk – de volgens mij fascinerendste planeet – Mars. Waarom is Mars nu zo interessant? Ten eerste valt deze planeet op door zijn opvallende rode kleur ( of okerkleurig, zo u wil). Daarom wordt hij ook de rode planeet genoemd. Ook heeft hij niet zoals de aarde 1 maan, maar 2 manen (Deimos en Phobos). De rode planeet is ook een stuk kleiner dan de aarde en is de vierde planeet vanaf de zon gezien. Daarnaast staat hij gemiddeld ook op ongeveer 227.000.000 km, net geen 2 AE, van de zon en is de gemiddelde temperatuur op Mars maar -63 graden Celsius.

Dat is allemaal wel interessant,maar wat Mars echt boeiend maakt, is de mogelijkheid van leven op deze planeet. Iedereen weet dat je water nodig hebt om leven te hebben en dat is net wat er op deze rode planeet aanwezig is. Niet water in de vloeibare vorm, maar in de bevroren vorm (door de gemiddelde temperatuur van -63 graden Celsius). Ook heb je om leven te hebben op een planeet een atmosfeer nodig, zoals de aarde er één heeft. Ook Mars heeft een atmosfeer (weliswaar een dunne, maar er is toch één aanwezig). Er is zelfs sprake van seizoenen op Mars. Er zijn vulkanen en gletsjers, bergen en dalen, en zelfs de rotatieperiode van Mars komt aardig overeen met wat we hier gewoon zijn: in precies 24 uur, 39 minuten en 35.244 seconden draait de planeet om haar as. Er is daarom best wel leven op deze planeet mogelijk. Daarom dat we ook direct aan Marsmannetjes denken en bv. niet aan Jupitermannetjes. Er bestaan duizenden verhalen van aliens en opmerkelijk is dat meer dan de helft van deze aliens zogezegd afkomstig zijn van Mars. Er zijn momenteel veel missies bezig op en rond Mars. Hieronder zie je een lijst van een paar missies die nog actief zijn op en rond Mars met bijkomende informatie.

        1. 2001 Mars Odyssey georganiseerd door Amerika (NASA) gelanceerd op 7 april 2001, aangekomen op Mars op 24 oktober 2001 met type satelliet
          → Deze missie toonde aan dat er grote hoeveelheden waterijs op Mars aanwezig is.
        2. Mars Express georganiseerd door de ESA (Europese Ruimtevaartorganisatie) gelanceerd op 2 juni 2003, aangekomen op Mars op 25 december 2003 met type satelliet
        3. Curiosity georganiseerd door Amerika (NASA) gelanceerd op 26 november 2011, aangekomen op Mars op 6 augustus 2012 met type marswagen.

Je kunt zien dat deze drie marsmissies er 230 tot 286 dagen over doen om van de aarde naar Mars te reizen. Het verschil tussen de duur van de reis van de ene satelliet en de ander is te wijten aan de afstand van de aarde tot Mars. Want de ene keer ligt Mars dichter bij aarde en de ander keer ligt hij verder. Het verschil kan zelfs oplopen tot 320 miljoen kilometer. Het wordt dan berekend wanneer Mars op zijn dichtst staat zodat je minder afstand moet overbruggen.

Volgende keer vertel ik jullie meer over de wiskunde achter dit alles. Over de berekening van de banen van de planeten en over hoe je kunt weten uit wat een planeet bestaat door naar het licht ervan te kijken. Pas op: alleen voor nerds.

foto’s: 1ste foto: Rennende Kipnevel (Kan jij de kip er in zien?)
2de foto: Adelaarsnevel
3de foto: De rode planeet met bovenaan een ijskap