Afgeleide van Hogere Orde

Hallo wiskundefreaks,

deze post gaat over hogere afgeleiden, specifiek deze afgeleide: D^{n}x^{n}=n!. We zullen deze afgeleide bewijzen via inductie. Er zijn dus drie stappen: we bewijzen deze formule voor n=1, voor n en voor n+1.

1) We bewijzen deze formule voor n=1.
\large Dx=\lim_{a\rightarrow x}\frac{x-a}{x-a}=1=1!

2) Nu bewijzen we de formule voor n. We gaan ervan uit dat dit waar is.

\large D^{n}x^{n}=n!

3) Als we nu kunnen bewijzen dat deze eigenschap geldt voor n+1 hebben we het bewezen.

\large D^{n+1}x^{n+1}=D^{n}\left ( Dx^{n+1} \right )   

#\fn_cs Dx^{n+1}=(n+1)\cdot x^{n}

\large D^{n+1}x^{n+1}=D^{n}\left ( (n+1)\cdot x^{n}\right)

#\fn_cs D(f\cdot g)=Df\cdot g+f\cdot Dg

\large D^{n+1}x^{n+1}=\left ( D^{n}x^{n} \right )\cdot \left ( n+1 \right )+\left ( D^{n}n+1 \right )\cdot x^{n} 

#\fn_cs D^{n}x^{n}=n!

\large D^{n+1}x^{n+1}=n!\cdot (n+1)+\left ( D^{n}n+1 \right )\cdot x^{n}  

#\fn_cs C\in\mathbb{R}\Rightarrow D(C)=0

\large D^{n+1}x^{n+1}=\left ( n+1 \right )!+0\cdot x^{n}

\large D^{n+1}x^{n+1}=\left ( n+1 \right )!

Q.E.D.

WiskundeJongen