in wiskundemarathon

Inductie (wiskundemarathon #4)

Gegroet wiskundige gelijkgezinden,

vandaag is het tijd voor deel 4 van onze wiskundemarathon. Vandaag lossen we enkele opgaves op met een speciale techniek, namelijk inductie. Op deze website vond ik deze definitie en werkwijze voor volledige inductie: volledige inductie

Nu we weten wat inductie precies is, maken we een paar opgaves lukraak geplukt uit het wiskundearsenaal. We beginnen met een paar gemakkelijke en gaan dan verder naar een paar minder gemakkelijke.

(Een klassieker)
1. Bewijs dat voor n\in \mathbb{N}, geldt dat \sum_{i=0}^{n}i =\frac{n(n+1)}{2}
Inductiebasis: We vinden dat dit geldt voor n=0 want 0=0
Inductiestap: We nemen aan dat \sum_{i=0}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}. Nu moeten we enkel nog bewijzen dat het ook voor n+1 geldt.
\sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{n(n+1)}{2}+n+1

<=> \sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{n^2+n+2n+2}{2}

<=> \sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{n(n+2)+(n+2)}{2}

<=> \sum_{i=0}^{n+1}i=\frac{(n+1)(n+2)}{2}

q.e.d.

2. Bewijs dat voor  n,k\in \mathbb{N} (we definiëren  \mathbb{N}=\{ 1,2,3...\} ) geldt dat  3^{2n+1}+2^{n-1}=7k
Inductiebasis:  n=1 \Rightarrow 3^{3}+2^0=28=7\cdot 4
Inductiestap: Stel dat  3^{2n+1}+2^{n-1}=7k, dan moeten we enkel nog bewijzen dat  3^{2(n+1)+1}+2^{(n+1)-1}=7l met l\in \mathbb{N} .

 3^{2(n+1)+1}+2^{(n+1)-1}
 =3^{2n+3}+2^{n}
 =9\cdot 3^{2n+1}+2\cdot 2^{n-1}
 =2\cdot (3^{2n+1}+2^{n-1})+7\cdot 3^{2n+1}
 =14k+7\cdot 3^{2n+1}
 =7\cdot (2k+3^{2n+1})

q.e.d.

3. Bewijs dat voor  n\in \mathbb{N} en  n\geqslant 2 geldt dat:  n!-1 kan geschreven worden als de som van  n-1 delers van  n!
Inductiebasis: n=2 \Rightarrow 2!-1=1
Inductiestap:  a_1, a_2, a_3...a_{n-1} zijn delers van  n!
=>  n!-1=a_1+a_2+...+a_{n-1}

Na een beetje zoeken vinden we dat:  (n+1)!-1=(n+1)(a_1+a_2+...+a_{n-1})+n
Als we dit kunnen bewijzen, hebben we het gevraagde bewezen want bovenstaande is een som met n termen die allemaal delers van  (n+1)! zijn.

 (n+1)!-1=(n+1)(a_1+a_2+...+a_{n-1})+n
 \Leftrightarrow (n+1)!-1=(n+1)(n!-1)+n
\Leftrightarrow (n+1)!-1=n\cdot n!+n!-n-1+n
 \Leftrightarrow(n+1)!-1=(n+1)\cdot n! -1=(n+1)!-1

q.e.d.

4. Bewijs dat voor  n,k \in \mathbb{N} geldt:  4^n+15n-1=9k
(we definiëren  \mathbb{N}=\{ 1,2,3...\} )
Inductiebasis: voor  n=1 \Rightarrow 4+15-1=18=9\cdot 2
Inductiestap: We nemen aan dat  4^n+15n-1=9k. We moeten allen nog maar bewijzen dat dit ook voor n+1 geldt.

 4^{n+1}+15(n+1)-1
=4\cdot 4^n +15n +15-1
 = 9k+3\cdot 4^n +15
 = 9k+3\cdot (4^n+5)

Hier zitten we vast. We moeten nu kunnen bewijzen dat voor  n,m \in \mathbb{N} geldt dat   4^n+5=3m. We doen dit met inductie.
Inductiebasis:  n=1 \Rightarrow 4+5=3\cdot 3
Inductiestap: We stellen dat  4^n+5=3m. Nu bewijzen we dat  4^{n+1}+5=3p met  p\in \mathbb{N} .

 4^{n+1}+5
= 3p +3\cdot 4^n
= 3\cdot (p+4^n)

Als we dit invullen in ons vorig bewijs, vinden we:

 9k+3\cdot(4^n+5)
 = 9k+9\cdot (p+4^n)
 = 9\cdot (k+p+4^n)

q.e.d.

WiskundeJongen

Leave a Reply