in wiskundemarathon

JWO finale 2006-2007 vraag 1 (wiskundemarathon #1)

Hallo wiskundefreaks,

vandaag ga ik de eerste finalevraag van de Junior Wiskunde Olympiade (editie 2006-2007) maken. Deze gaat als volgt:finalej07

1) Eerst berekenen we het hoogste getal van de n-de rij (G_{n}). Je ziet direct dat dit gelijk is aan:
G_{n}=1+2+3+...+(n-1)+n
<=> G_{n}=\frac{n(n+1)}{2}

2) Nu berekenen we het kleinste getal (K_{n}) van de n-de rij. Dit is 1 meer dan het hoogste getal van de (n-1)-de rij:
K_{n}=G_{n-1}+1
<=> K_{n}=\frac{n(n-1)}{2}+1

3) Ten slotte berekenen we de som van de n-de rij (S_{n}):
S_{n}=K_{n}+\left ( K_{n}+1 \right )+...+\left ( G_{n}-1 \right )+G_{n}

<=> S_{n}=K_{n}\left ( G_{n}-K_{n}+1 \right )+1+2+3+...+G_{n}

<=> S_{n}=K_{n}\left ( G_{n}-K_{n}+1 \right )+\frac{\left ( G_{n}-K_{n} \right )\left ( G_{n}-K_{n}+1 \right )}{2}

<=> S_{n}=\left ( K_{n}-G_{n}+1 \right )\left ( K_{n}+\frac{G_{n}-K_{n}}{2} \right )

<=> S_{n}=\left ( K_{n}-G_{n}+1 \right )\left ( \frac{K_{n}+G_{n}}{2} \right )

<=> S_{n}=\frac{1}{2}\left ( \frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n-1)}{2}-1+1 \right )\left ( \frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}+1 \right )

<=> S_{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n(n+1-n+1)}{2}\cdot \frac{n(n+1+n-1)+2}{2}

<=> S_{n}=\frac{1}{2}\cdot n \cdot (n^{2}+1)

<=> S_{n}=\frac{n^{3}+n}{2}

4) Nu berekenen we de som van de 100ste rij:

S_{100}=\frac{100^{3}+100}{2}=500050

EXTRA: zoek alle n waarvoor S_{n} priem is

1) We onderzoeken eerst alle even n.
Als n even is, is  \frac{n}{2}  een natuurlijk getal en dus deler van S_{n}.
De definitie van een priemgetal zegt ons dat een natuurlijk getal (groter dan 1) priem is als en slechts als het getal precies 2 delers heeft, namelijk 1 en zichzelf. Afgaande de definitie moet, als S_{n} priem is,  n^{2}+1 of \frac{n}{2} gelijk zijn aan 1.
=> n=2 \vee n=0 zodat S_{n}=5 \vee S_{n}=0 ( S_{n}=0 valt weg, want S_{n} is niet gedefiniëerd voor S_{n}=0.

We vinden dus 1 opl. namelijk S_{n}=5 met n=2

2) Nu onderzoeken we alle oneven n.
Als n oneven is dan is \frac{n^{2}+1}{2} een natuurlijk getal en dus een deler van S_{n}.
Afgaande de dfinitie van een priemgetal moet n of \frac{n^{2}+1}{2} gelijk zijn aan 1.
=> n=1\vee n=1 zodat S_{n}=1 (deze opl. valt weg want 1 is geen priemgetal)

3) We vinden één opl. namelijk S_{n}=5 met n=2

WiskundeJongen

Leave a Reply