in Koch-sneeuwvlok

Koch-sneeuwvlok

koch snowflake

 

Hallo wiskundenerds,

in deze post zal ik het hebben over de Koch-sneeuwvlok. Deze sneeuwvlok ontstaat door op een gelijkzijdige driehoek telkens volgende stappen te ondernemen (zie foto onder). Op de foto zie wat we telkens doen met een zijde van de driehoek.
Koch_curve_(L-system_construction)

Dit is allemaal wel mooi, maar wat mij interesseert is wat de oppervlakte van deze Koch-sneeuwvlok is. Laten we het onderzoeken.

fractalkochflakeWe stellen de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek gelijk aan A_{1}. We zullen nu de oppervlakte bepalen per stap. Stap 1 a_{1} (= foto linksboven) is de gelijkzijdige driehoek alleen.

\large a_{1}=A_{1}

Stap 2 a_{2}= foto rechtsboven. De oppervlakte van de kleine driehoekjes zijn 9 keer kleiner dan de oppervlakte van de grote driehoek.

\large a_{2}=A_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}

Stap 3 a_{3}= foto linksonder. De kleinste driehoekjes zijn 81 maal kleiner dan de grote driehoek.

\large a_{3}=A_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}

Stap 4 a_{4} = foto rechtsonder. De kleinste driehoekjes zijn 729 maal kleiner dan de grote driehoek.

\large a_{4}=1_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}

Nu zoeken we de oppervlakte van de Koch-sneeuwvlok bij de n-de stap a_{n}.

\large a_{n}=A_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}+...+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-2}}{3^{2n-2}}

\large a_{n}-A_{1}=\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}+...+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-2}}{3^{2n-2}}

\large \left ( a_{n}-A_{1}\right )\cdot \frac{4}{3^{2}}=\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}+...+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-1}}{3^{2n}}

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )-\left ( a_{n}-A_{1}\right )\cdot \frac{4}{3^{2}}=\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}-\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-1}}{3^{2n}}

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )\cdot \left ( 1-\frac{4}{3^{2}} \right )=A_{1}\left ( \frac{1}{3}-\frac{3\cdot 4^{n-1}}{3^{2n}} \right )

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )\cdot \frac{5}{9}=A_{1}\left ( \frac{1}{3}-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-1}} \right )

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )\cdot \frac{5}{9}=\frac{A_{1}}{3}\cdot \left ( 1-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-2}} \right )

\large a_{n}-A_{1} =\frac{A_{1}\cdot 3}{5}\cdot \left ( 1-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-2}} \right )

\large a_{n}=A_{1}+\frac{A_{1}\cdot 3}{5}\cdot \left ( 1-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-2}} \right )

\large a_{n}=A_{1}\cdot \left ( 1+\frac{3}{5}-\frac{ 4^{n-1}\cdot 3}{3^{2n-2}\cdot 5} \right )

\large a_{n}=A_{1}\cdot \left ( \frac{8}{5}-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-3}\cdot 5} \right )

\large a_{n}=\frac{4\cdot A_{1}}{5}\cdot \left ( 2-\frac{ 4^{n-2}}{3^{2n-3}} \right )

We hebben nu een formule om de oppervlakte te berekenen na de n-de stap. De vraag is nu: wat is de oppervlakte na oneindig veel stappen? We bekijken de term b_{n}=\frac{4^{n-2}}{3^{2n-3}}van naderbij.

Als n=1, dan is \large b_{1}=\frac{4^{1-2}}{3^{2\cdot 1-3}}=0,75

als n=2, dan is \large b_{2}=\frac{4^{2-2}}{3^{2\cdot 2-3}}=0,33...

als n=3, dan is \large b_{3}=\frac{4^{3-2}}{3^{2\cdot 3-3}}=0,148148...

We kunnen besluiten dat b_{1}> b_{2}> b_{3}> ... waaruit volgt dat \large \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=0.
Daaruit volgt dat \large a_{n}=\frac{8}{5}A_{1} bij \large n=\infty.
Als we dus oneindig veel stappen ondernemen, is de oppervlakte gelijk aan \large \frac{8}{5}A_{1}.

LEVE DE WISKUNDE!!!

WiskundeJongen

 

 

Leave a Reply