Afgeleide van Hogere Orde

Hallo wiskundefreaks,

deze post gaat over hogere afgeleiden, specifiek deze afgeleide: D^{n}x^{n}=n!. We zullen deze afgeleide bewijzen via inductie. Er zijn dus drie stappen: we bewijzen deze formule voor n=1, voor n en voor n+1.

1) We bewijzen deze formule voor n=1.
\large Dx=\lim_{a\rightarrow x}\frac{x-a}{x-a}=1=1!

2) Nu bewijzen we de formule voor n. We gaan ervan uit dat dit waar is.

\large D^{n}x^{n}=n!

3) Als we nu kunnen bewijzen dat deze eigenschap geldt voor n+1 hebben we het bewezen.

\large D^{n+1}x^{n+1}=D^{n}\left ( Dx^{n+1} \right )   

#\fn_cs Dx^{n+1}=(n+1)\cdot x^{n}

\large D^{n+1}x^{n+1}=D^{n}\left ( (n+1)\cdot x^{n}\right)

#\fn_cs D(f\cdot g)=Df\cdot g+f\cdot Dg

\large D^{n+1}x^{n+1}=\left ( D^{n}x^{n} \right )\cdot \left ( n+1 \right )+\left ( D^{n}n+1 \right )\cdot x^{n} 

#\fn_cs D^{n}x^{n}=n!

\large D^{n+1}x^{n+1}=n!\cdot (n+1)+\left ( D^{n}n+1 \right )\cdot x^{n}  

#\fn_cs C\in\mathbb{R}\Rightarrow D(C)=0

\large D^{n+1}x^{n+1}=\left ( n+1 \right )!+0\cdot x^{n}

\large D^{n+1}x^{n+1}=\left ( n+1 \right )!

Q.E.D.

WiskundeJongen

Koch-sneeuwvlok

koch snowflake

 

Hallo wiskundenerds,

in deze post zal ik het hebben over de Koch-sneeuwvlok. Deze sneeuwvlok ontstaat door op een gelijkzijdige driehoek telkens volgende stappen te ondernemen (zie foto onder). Op de foto zie wat we telkens doen met een zijde van de driehoek.
Koch_curve_(L-system_construction)

Dit is allemaal wel mooi, maar wat mij interesseert is wat de oppervlakte van deze Koch-sneeuwvlok is. Laten we het onderzoeken.

fractalkochflakeWe stellen de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek gelijk aan A_{1}. We zullen nu de oppervlakte bepalen per stap. Stap 1 a_{1} (= foto linksboven) is de gelijkzijdige driehoek alleen.

\large a_{1}=A_{1}

Stap 2 a_{2}= foto rechtsboven. De oppervlakte van de kleine driehoekjes zijn 9 keer kleiner dan de oppervlakte van de grote driehoek.

\large a_{2}=A_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}

Stap 3 a_{3}= foto linksonder. De kleinste driehoekjes zijn 81 maal kleiner dan de grote driehoek.

\large a_{3}=A_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}

Stap 4 a_{4} = foto rechtsonder. De kleinste driehoekjes zijn 729 maal kleiner dan de grote driehoek.

\large a_{4}=1_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}

Nu zoeken we de oppervlakte van de Koch-sneeuwvlok bij de n-de stap a_{n}.

\large a_{n}=A_{1}+\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}+...+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-2}}{3^{2n-2}}

\large a_{n}-A_{1}=\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}+...+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-2}}{3^{2n-2}}

\large \left ( a_{n}-A_{1}\right )\cdot \frac{4}{3^{2}}=\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4}{3^{4}}+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{2}}{3^{6}}+...+\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-1}}{3^{2n}}

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )-\left ( a_{n}-A_{1}\right )\cdot \frac{4}{3^{2}}=\frac{3\cdot A_{1}}{3^{2}}-\frac{3\cdot A_{1}\cdot 4^{n-1}}{3^{2n}}

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )\cdot \left ( 1-\frac{4}{3^{2}} \right )=A_{1}\left ( \frac{1}{3}-\frac{3\cdot 4^{n-1}}{3^{2n}} \right )

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )\cdot \frac{5}{9}=A_{1}\left ( \frac{1}{3}-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-1}} \right )

\large \left ( a_{n}-A_{1} \right )\cdot \frac{5}{9}=\frac{A_{1}}{3}\cdot \left ( 1-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-2}} \right )

\large a_{n}-A_{1} =\frac{A_{1}\cdot 3}{5}\cdot \left ( 1-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-2}} \right )

\large a_{n}=A_{1}+\frac{A_{1}\cdot 3}{5}\cdot \left ( 1-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-2}} \right )

\large a_{n}=A_{1}\cdot \left ( 1+\frac{3}{5}-\frac{ 4^{n-1}\cdot 3}{3^{2n-2}\cdot 5} \right )

\large a_{n}=A_{1}\cdot \left ( \frac{8}{5}-\frac{ 4^{n-1}}{3^{2n-3}\cdot 5} \right )

\large a_{n}=\frac{4\cdot A_{1}}{5}\cdot \left ( 2-\frac{ 4^{n-2}}{3^{2n-3}} \right )

We hebben nu een formule om de oppervlakte te berekenen na de n-de stap. De vraag is nu: wat is de oppervlakte na oneindig veel stappen? We bekijken de term b_{n}=\frac{4^{n-2}}{3^{2n-3}}van naderbij.

Als n=1, dan is \large b_{1}=\frac{4^{1-2}}{3^{2\cdot 1-3}}=0,75

als n=2, dan is \large b_{2}=\frac{4^{2-2}}{3^{2\cdot 2-3}}=0,33...

als n=3, dan is \large b_{3}=\frac{4^{3-2}}{3^{2\cdot 3-3}}=0,148148...

We kunnen besluiten dat b_{1}> b_{2}> b_{3}> ... waaruit volgt dat \large \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=0.
Daaruit volgt dat \large a_{n}=\frac{8}{5}A_{1} bij \large n=\infty.
Als we dus oneindig veel stappen ondernemen, is de oppervlakte gelijk aan \large \frac{8}{5}A_{1}.

LEVE DE WISKUNDE!!!

WiskundeJongen

 

 

Chemie

Wetenschap, saai? Helemaal niet!

De komende dagen zal ik bewijzen dat wetenschappen helemaal niet saai hoeven te zijn. We beginnen met chemie. Ik hoor je al zuchten: “Chemie, wat is er daar nu leuk aan?”. Wel, een staaltje van mooier symmetrie en schoonheid zul je weliswaar nergens meer zien. De Tabel van Mendeljev, het Periodiek Stelsel der Elementen kortweg PSE, is zo’n staaltje van pure schoonheid. Voor een buitenstaander een lelijke tabel vol symbolen en afkortingen. Voor iemand die er vertrouwd mee is, een speeltuin vol wijsheid en informatie. Maar niet getreurd, Kaycie D. heeft het PSE voor iedereen toegankelijk gemaakt. Voor haar thesis maakte ze voor elk element een tekening die het element uitbeeld. Voor meer info: http://kaycie-kcd.blogspot.ca/search/label/senior%20thesis.

De ChemieJongen

PS: Klik op de eerste foto, dan wordt hij uitvergroot en kun je langs de andere scrollen.