Appendix wiskundemarathon #5

Gegroet wiskundige wezens,

in deze post tonen we jullie een nieuwe manier om de vraag van wiskundemarathon #5 op te lossen:
wiskundemarathon deel 5 afbeelding

Eerst introduceren we een nieuwe functie:  \nu_p(n) is gelijk aan het aantal priemfactoren  p in de priemontbinding van  |n| met  n\in\mathbb{Z} .

Er geldt dat \nu_p(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor{\frac{n}{p^k}}\right\rfloor. We gaan deze formule in de volgende post bewijzen. Neem deze nu voorlopig gewoon aan of probeer hem zelf als oefening eens te bewijzen.

Nu zoeken we \nu _{2} \left(\frac{(2n)!}{n!}\right). Dit is gelijk aan \nu _{2} \left((2n)!\right) - \nu _{2} \left(n!\right).
Nu werken we uit:
\nu _{2} \left((2n)!\right) - \nu _{2} \left(n!\right)
 
=\sum_{k=1}^{\infty} \left \lfloor{\frac{2n}{2^k}}\right \rfloor - \sum_{k=1}^{\infty} \left \lfloor{\frac{n}{2^k}}\right \rfloor
 
=\sum_{k=1}^{\infty} \left ( \left \lfloor{\frac{n}{2^{k-1}}}\right \rfloor - \left\lfloor{\frac{n}{2^k}}\right\rfloor\right )
 
=n+\sum_{k=1}^{\infty} \left (\left\lfloor{\frac{n}{2^{k}}}\right \rfloor -\left\lfloor{\frac{n}{2^k}}\right\rfloor\right )=n
 \square
Analoog kunnen we bewijzen dat \nu _{p} \left(\frac{(pn)!}{n!}\right)=n

WiskundeJongen