Ongelijkheden en Arthur Engel (wiskundemarathon #8)

Gegroet wiskundige bollebozen,

een van de beste boeken over problem-solving is Problem-Solving Strategies (Arthur Engel). In dit boek staan zeer veel wiskundige problemen en oefeningen van gemiddeld tot moeilijk. In deze post maak ik opgave 45a en 45b (p.182) uit het hoofdstuk Ongelijkheden.

a) x,y,z>0: \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq\frac{y}{x} +\frac{z}{y}+\frac{x}{z}

Bewijs: w.l.o.g. stel dat a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}. Daaruit volgt dat  abc=1.

Nu moeten we bewijzen dat:
a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}
\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ab
\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2\geq 2ab+2bc+2ab
\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\geq 0
\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0
 \square

b) x,y,z>0: \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq\frac{x}{y} +\frac{y}{z}+\frac{z}{x}

Bewijs: w.l.o.g. stel dat a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}. Daaruit volgt dat  abc=1.

Nu moeten we bewijzen dat:
a^2+b^2+c^2 \geq a+b+c

We passen eerst QM-AM en daarna AM-HM toe op  \{a,b,c\}. Ook gebruiken we het feit dat  abc=1.

a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{(a+b+c)(a+b+c)}{3} \geq \frac{3\sqrt[3]{abc}(a+b+c)}{3}=a+b+c
 \square

WiskundeJongen