Ongelijkheden (wiskundemarathon #6)

Hey wiskundige volbloeden,

een heel leuke tak van de wiskunde die nog niet aan bod is gekomen in de wiskundemarathon, zijn ongelijkheden. Er bestaan heel leuke technieken om moelijke ongelijkheden te bewijzen, maar nu bewijzen we een paar makkelijke oefeningen op om vertrouwd te geraken met de verschillende technieken. In volgende posts gaan we dan dieper in op de materie. We zullen de verschillende stellingen hier niet bewijzen, want dat zou ons te ver drijven.

Techniek 1: AM-GM (Arithmetic Mean-Geometric Mean)

 \forall x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{R}; x_1, x_2, ..., x_n \geq 0 :\frac{ x_1+ x_2+ ...+ x_n}{n} \geq \sqrt{ x_1 x_2 ...x_n}
Nu maken we een oefening op deze techniek. Ik vond deze opgave bij het oefenmateriaal van de Nederlandse IMO-training.
Schermafbeelding (8)
We vinden via AM-GM dat:  \frac{1+2+...+n}{n} \geq \sqrt[n]{n!}
We hebben al bewezen dat  \sum_{i=0}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2} (zie wiskundemarathon #4). Nu bekomen we:
 \frac{1+2+...+n}{n} \geq \sqrt[n]{n!}
\Leftrightarrow \frac{n+1}{2} \geq \sqrt[n]{n!}
\Leftrightarrow n+1 \geq 2\sqrt[n]{n!}
\Leftrightarrow (n+1)^n \geq 2^n n!
 \square

Dit is een techniek die veel toepassingen kent. In volgende posts zullen we enkele ingewikkeldere oefeningen maken. De volgende techniek is echter mijn favoriet.

Techniek 2: Cauchy-Schwarz

 \forall x_1,x_2,...,x_i,y_1,y_2,...,y_i \in \mathbb{R}:\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \leq \left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n y_i^2 \right)

Dit is een krachtige stelling en daardoor ook zeer populair bij problem-solving. We maken nu een oefening om aan te tonen hoe mooi en elegant deze techniek is. Deze oefening vond ik ook bij de Nederlandse training voor de IMO.Schermafbeelding (9)

Passen we Cauchy-Schwarz toe op  (x_1 , x_2 , x_3)= \left( \sqrt{1-\frac{1}{x}},\sqrt{1-\frac{1}{y}},\sqrt{1-\frac{1}{z}}\right) en  (y_1 , y_2 , y_3)= \left( \sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right) , dan vinden we:

\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\right)^2\leq\left(3-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\right)\left(x+y+z\right) \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\right)^2\leq x+y+z

\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\leq \sqrt{x+y+z}
\square

Als extraatje lossen we nog een finalevraag van de JWO op. De vraag komt uit de JWO-finale van een paar jaar geleden en we zullen die op 3 verschillende manieren oplossen.

1) Bewijs dat  a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc

Oplossing 1: We herschrijven de ongelijkheid tot:
a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geq 0
Nu vermenigvuldigen we beide leden met 2 en herschikken de ongelijkheid:
 2a^2+2b^2+2c^2 -2ab-2ac-2bc\geq 0
\Leftrightarrow(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\geq 0
\square

Oplossing 2: Nu gebruiken we Cauchy-Schwarz met  (x_1 , x_2 , x_3)= \left(a,b,c\right) en  (y_1 , y_2 , y_3)= \left( b,c,a\right) :
(ab+bc+ac)^2\leq\left(a^2+b^2+c^2\right)^2
\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2
\square

Oplossing 3: We lossen deze vraag ook op met een methode die we in de volgende ongelijkhedenpost zullen uitleggen en illustreren: de herschikkingsongelijkheid.

We stellen zonder verlies van algemeenheid dat a\geq b\geq c. Dan bekomen we:
a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc \geq 2ac+b^2
\square

We zien dat hoe complexer (deze zijn nog zeer eenvoudig) de techniek wordt, hoe krachtiger hij wordt. Volgende post zullen we nog enkele zeer handige technieken en stellingen introduceren en nog enkele vraagstukken maken.

WiskundeJongen

Krijg je maar niet genoeg van ongelijkheden? Hieronder vind je een paar documentjes en links waarmee je kunt oefenen.

http://studwww.ugent.be/~pwvdendr/ongelijkheden.pdf
http://www.win.tue.nl/~gpuite/lesbrief/training0809/mrt09ongelijkheden1.pdf
http://www.win.tue.nl/~gpuite/lesbrief/trainFokkoongelijk.pdf

http://sotseurm.files.wordpress.com/2012/08/pham-kim-hung-secrets-in-inequalities-volume-1.pdf