in wiskundemarathon

VWO finale 2005-2006 vraag 4 (wiskundemarathon #2)

Hallo wiskundefreaks,

vandaag los ik een finalevraag op van de finale van de Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006. Deze gaat als volgt:finale05
We zoeken dus alle  n\in \mathbb{N} waarvoor geldt:
n=k^{2}  en n+2005=l^{2} met k,l\in \mathbb{N}.

1) geg: n=k^{2}  en n+2005=l^{2} met k,l\in \mathbb{N}
opl: l^{2}-k^{2}=n+2005-n
<=> l^{2}-k^{2}=2005
<=> \left ( l-k \right )\left ( l+k \right )=2005

2) We vinden dat  \left ( l-k \right )\left ( l+k \right )=2005. Omdat l,k\in \mathbb{N}  kunnen we besluiten dat l-k en l+k delers zijn van 2005.

3) We vinden 2 mogelijkheden:
\left\{\begin{matrix}l-k=1\\l+k=2005 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} l-k=5\\l+k=401 \end{matrix}\right.

<=> \left\{\begin{matrix} k=1002\\l=1003 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} k=198\\l=203 \end{matrix}\right.

4) We vinden dus 2 oplossingen:  n=1002^{2}\vee n=198^{2}.
Wanneer we deze oplossingen controleren, vinden we: \sqrt{1002^{2}}+\sqrt{1002^{2}+2005}=\sqrt{1002^{2}}+\sqrt{1003^{2}}=2005 en \sqrt{198^{2}}+\sqrt{198^{2}+2005}=\sqrt{198^{2}}+\sqrt{203^{2}}=401.

Q.E.D.

WiskundeJongen

PS: in een volgende post ga ik hier dieper op in.

Leave a Reply