in wiskundemarathon

wiskundemarathon #3

Hallo wiskundefreaks,

vandaag lossen we enkele finale- en 2de ronde-vragen van de Vlaamse Wiskunde Olympiade op. De eerste twee komen uit de 2de ronde van de VWO 2008-2009. Ze zijn niet zo moeilijk, maar we posten ze toch omdat we zo van rijen houden. We love it!
a) De eerste opgave is:

finalevraag25
1) We noemen S=\left ( 2+1 \right )\left ( 2^{2}+1 \right )\left ( 2^{4}+1 \right )...\left ( 2^{1024}+1 \right )+1

2) Deze vraag ziet er op het eerste gezicht zeer ingewikkeld uit, maar als we de vraag beter bestuderen zien we dat: S=(2+1)\left ( 2^{2}+1 \right )\left ( 2^{4}+1 \right )...\left ( 2^{1024}+1 \right )+1
<=> S=\left ( 1+2+2^{2}+2^{3} \right )\left ( 2^{4}+1 \right )...\left ( 2^{1024}+1 \right )+1
<=> S=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{k}+1

3) We zien dat er een meetkundige rij ontstaat. Alleen weten we k (nog) niet. We merken op dat:
k=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{10}
<=> 2k=2+2^{2}+2^{3}+...+2^{11}
<=> 2k-k=2^{11}-1
<=> k=2^{11}-1

4) Nu berekenen we S verder:
S=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{k}+1
<=> S-2=2+2^{2}+2^{3}+...+2^{k}
<=> 2\left ( S-2 \right )=2^{2}+2^{3}+...+2^{k+1}
<=> 2\left ( S-2 \right )-\left ( S-2 \right )=2^{k+1}-2
<=> S=2^{k+1}
<=> S=2^{2^{11}}
5) Tenslotte bepalen we de 1024-ste machtswortel van S.
\sqrt[1024]{S}=\sqrt[1024]{2^{2^{11}}}=\sqrt[1024]{\left ( 2^{2} \right )^{2^{10}}}=\sqrt[1024]{4^{1024}}=4

Het antwoord is dus (D) 4.

b) De tweede opgave gaat als volgt:
finalevraag26

1) Deze vraag kunnen we in een ruk oplossen:
22=\frac{3+4+5+...+\left ( n^{2}-3 \right )}{n^{2}}
<=> 22n^{2}=\left ( 1+2+3+...+\left ( n^{2}-3 \right ) \right )-3
<=> 22n^{2}=\frac{1}{2}\left ( n^{2}-3 \right )\left ( n^{2}-2 \right )-3
<=> 44n^{2}=\left ( n^{2}-3 \right )\left ( n^{2}-2 \right )-6
<=> 44n^{2}=n^{4}-3n^{2}-2n^{2}+6-6
<=> 44=n^{2}-5
<=> n=7
Het juiste antwoord is dus (A) 7.

c) De laatste vraag die we vandaag gaan oplossen is er een uit de finale van de JWO 2005-2006.
Deze gaat als volgt: finalevraag2005
1) We moeten dus aantonen dat K=\left ( 1+m \right )\left ( 1+\frac{m}{2} \right )...\left ( 1+\frac{m}{n} \right ) gelijk is aan

L=\left ( 1+n \right )\left ( 1+\frac{n}{2} \right )...\left ( 1+\frac{n}{m} \right ).

2) We bepalen eerst K:
K=\left ( 1+m \right )\left ( 1+\frac{m}{2} \right )...\left ( 1+\frac{m}{n} \right )

<=> K=\left ( 1+m \right )\left ( \frac{2+m}{2} \right )...\left ( \frac{n+m}{n} \right )

<=> K=\frac{\left ( m+1 \right )\left ( m+2 \right )...\left ( m+n \right )}{n!}

3) \left ( m+1 \right )\left ( m+2 \right )...\left ( m+n \right ) kunnen we ook schrijven als:

\frac{\left ( m+n \right )!}{m!}
Daaruit volgt dat K=\frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}
4) Nu bepalen we L.
L=\left ( 1+n \right )\left ( 1+\frac{n}{2} \right )...\left ( 1+\frac{n}{m} \right )

<=> L=\frac{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( m+n \right )}{m!}
5) Analoog als in 2 kunnen we \left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( m+n \right ) schrijven als \frac{\left ( m+n \right )!}{n!}
Daaruit volgt dat L=\frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}.
6) We hebben nu bewezen dat K=L want \frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}=\frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}

Nog wiskundemarathonartikels volgen…

WiskundeJongen

Leave a Reply